উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১ :f(x)=ax2+bx+c: f(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}
দৃশ্যকল্প-২ : g(x)=px2+qx+r\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+\mathrm{r}

  1. ক)

    4x2−kx+1=04 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{kx}+1=0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে k\mathrm{k}-এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 সমীকরণের মূল দুইটি α\alpha ও α2\alpha^{2} হলে প্রমাণ কর যে, p2r+p2+q3=3pqrp^{2} r+p^{2}+q^{3}=3 p q r.

    (2)
  3. গ)

    f(x)=0f(\mathrm{x})=0 ও g(x)=0\mathrm{g}(\mathrm{x})=0 সমীকরণদ্বয়ের মূলগুলোর অনুপাত সমান হলে প্রমাণ কর, b2ca=q2pr\frac{\mathrm{b}^{2}}{\mathrm{ca}}=\frac{\mathrm{q}^{2}}{\mathrm{pr}}.

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: (খ) অংশে মূল রাশিতে মুদ্রণ প্রমাদ রয়েছে; 'p^2 r + p^2 + q^3 = 3pqr'-এর স্থলে প্রমিত গাণিতিক রূপ 'p^2 r + pr^2 + q^3 = 3pqr' ধরে সমাধান করা হয়েছে।

    প্রদত্ত সমীকরণ: 4x2−kx+1=04x^2 - kx + 1 = 0
    সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান হবে যদি এবং কেবল যদি এর নিশ্চয়ক (discriminant), D=0D = 0 হয়।

    এখানে,
    D=(−k)2−4⋅4⋅1D = (-k)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1
      ⟹  k2−16=0\implies k^2 - 16 = 0
      ⟹  k2=16\implies k^2 = 16
      ⟹  k=±4\implies k = \pm 4

    অতএব, kk-এর নির্ণেয় মান ±4\pm 4।

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: (খ) অংশে মূল রাশিতে মুদ্রণ প্রমাদ রয়েছে; 'p^2 r + p^2 + q^3 = 3pqr'-এর স্থলে প্রমিত গাণিতিক রূপ 'p^2 r + pr^2 + q^3 = 3pqr' ধরে সমাধান করা হয়েছে।

    প্রদত্ত সমীকরণ: g(x)=px2+qx+r=0g(x) = px^2 + qx + r = 0
    সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha ও α2\alpha^2।

    মূলদ্বয়ের যোগফল,
    α+α2=−qp\alpha + \alpha^2 = -\frac{q}{p} ... (i)

    মূলদ্বয়ের গুণফল,
    α⋅α2=α3=rp\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{r}{p} ... (ii)

    এখন, (i) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
    (α+α2)3=(−qp)3(\alpha + \alpha^2)^3 = \left(-\frac{q}{p}\right)^3
      ⟹  (α)3+(α2)3+3⋅α⋅α2(α+α2)=−q3p3\implies (\alpha)^3 + (\alpha^2)^3 + 3 \cdot \alpha \cdot \alpha^2 (\alpha + \alpha^2) = -\frac{q^3}{p^3}
      ⟹  α3+(α3)2+3α3(α+α2)=−q3p3\implies \alpha^3 + (\alpha^3)^2 + 3\alpha^3 (\alpha + \alpha^2) = -\frac{q^3}{p^3}

    (i) ও (ii) থেকে মান বসিয়ে পাই,
    rp+(rp)2+3⋅(rp)⋅(−qp)=−q3p3\frac{r}{p} + \left(\frac{r}{p}\right)^2 + 3 \cdot \left(\frac{r}{p}\right) \cdot \left(-\frac{q}{p}\right) = -\frac{q^3}{p^3}
      ⟹  rp+r2p2−3qrp2=−q3p3\implies \frac{r}{p} + \frac{r^2}{p^2} - \frac{3qr}{p^2} = -\frac{q^3}{p^3}

    উভয়পক্ষকে p3p^3 দ্বারা গুণ করে পাই,
    p2r+pr2−3pqr=−q3p^2 r + pr^2 - 3pqr = -q^3
      ⟹  p2r+pr2+q3=3pqr\implies p^2 r + pr^2 + q^3 = 3pqr

    [বি.দ্র.: মূল প্রশ্নপত্রের লিপিকর প্রমাদে pr2pr^2-এর স্থানে p2p^2 মুদ্রিত হয়েছে, সঠিক রাশিটি হবে p2r+pr2+q3=3pqrp^2 r + pr^2 + q^3 = 3pqr]। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: (খ) অংশে মূল রাশিতে মুদ্রণ প্রমাদ রয়েছে; 'p^2 r + p^2 + q^3 = 3pqr'-এর স্থলে প্রমিত গাণিতিক রূপ 'p^2 r + pr^2 + q^3 = 3pqr' ধরে সমাধান করা হয়েছে।

    প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
    f(x)=ax2+bx+c=0f(x) = ax^2 + bx + c = 0 ... (i)
    g(x)=px2+qx+r=0g(x) = px^2 + qx + r = 0 ... (ii)

    ধরি, (i) সমীকরণের মূলদ্বয় α1,β1\alpha_1, \beta_1 এবং (ii) সমীকরণের মূলদ্বয় α2,β2\alpha_2, \beta_2।

    (i) নং সমীকরণ হতে,
    α1+β1=−ba\alpha_1 + \beta_1 = -\frac{b}{a}
    α1β1=ca\alpha_1 \beta_1 = \frac{c}{a}

    (ii) নং সমীকরণ হতে,
    α2+β2=−qp\alpha_2 + \beta_2 = -\frac{q}{p}
    α2β2=rp\alpha_2 \beta_2 = \frac{r}{p}

    প্রশ্নমতে, মূলগুলোর অনুপাত সমান;
    α1β1=α2β2=m\frac{\alpha_1}{\beta_1} = \frac{\alpha_2}{\beta_2} = m (ধরি)

    তাহলে,
    (α1+β1)2α1β1=(mβ1+β1)2mβ1⋅β1=(m+1)2β12mβ12=(m+1)2m\frac{(\alpha_1 + \beta_1)^2}{\alpha_1 \beta_1} = \frac{(m\beta_1 + \beta_1)^2}{m\beta_1 \cdot \beta_1} = \frac{(m+1)^2 \beta_1^2}{m\beta_1^2} = \frac{(m+1)^2}{m}

    অনুরূপভাবে,
    (α2+β2)2α2β2=(m+1)2m\frac{(\alpha_2 + \beta_2)^2}{\alpha_2 \beta_2} = \frac{(m+1)^2}{m}

    সুতরাং,
    (α1+β1)2α1β1=(α2+β2)2α2β2\frac{(\alpha_1 + \beta_1)^2}{\alpha_1 \beta_1} = \frac{(\alpha_2 + \beta_2)^2}{\alpha_2 \beta_2}

    মান বসিয়ে পাই,
    (−b/a)2c/a=(−q/p)2r/p\frac{(-b/a)^2}{c/a} = \frac{(-q/p)^2}{r/p}
      ⟹  b2/a2c/a=q2/p2r/p\implies \frac{b^2 / a^2}{c/a} = \frac{q^2 / p^2}{r/p}
      ⟹  b2a2⋅ac=q2p2⋅pr\implies \frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{a}{c} = \frac{q^2}{p^2} \cdot \frac{p}{r}
      ⟹  b2ca=q2pr\implies \frac{b^2}{ca} = \frac{q^2}{pr}

    (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন