উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y^2 = 9x$
   বা, $y^2 = 4 \cdot \frac{9}{4} \cdot x$

   $(x_1, y_1)$ বিন্দুতে $y^2 = 4ax$ পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y y_1 = 2a(x + x_1)$

   এখানে, $(x_1, y_1) = (4, 6)$ এবং $4a = 9 \implies 2a = \frac{9}{2}$

   অতএব, $(4, 6)$ বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   $y \cdot 6 = \frac{9}{2}(x + 4)$
   $\implies 12y = 9x + 36$
   $\implies 9x - 12y + 36 = 0$
   $\implies 3x - 4y + 12 = 0$ (উভয়পক্ষকে $3$ দ্বারা ভাগ করে)

   নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ: $3x - 4y + 12 = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুসারে,
   পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র $S(-1, 3)$ এবং শীর্ষবিন্দু $A(4, 1)$।
   ধরি, অক্ষরেখা ও নিয়ামকরেখার ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$।
   আমরা জানি, শীর্ষবিন্দু $A$, $S$ ও $Z$-এর মধ্যবিন্দু।

   অতএব,
   $\frac{-1 + \alpha}{2} = 4 \implies \alpha = 8 + 1 = 9$
   $\frac{3 + \beta}{2} = 1 \implies \beta = 2 - 3 = -1$

   সুতরাং, $Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(9, -1)$।

   অক্ষরেখা $SA$-এর ঢাল, $m_1 = \frac{1 - 3}{4 - (-1)} = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5}$
   যেহেতু নিয়ামকরেখা $MZM'$ অক্ষরেখার ওপর লম্ব, তাই নিয়ামকরেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{5}{2}$

   অতএব, $Z(9, -1)$ বিন্দুগামী নিয়ামকরেখা $MZM'$-এর সমীকরণ:
   $y - (-1) = \frac{5}{2}(x - 9)$
   $\implies 2(y + 1) = 5(x - 9)$
   $\implies 2y + 2 = 5x - 45$
   $\implies 5x - 2y - 47 = 0$

   নির্ণেয় নিয়ামকরেখার সমীকরণ: $5x - 2y - 47 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুসারে, কণিকটি একটি পরাবৃত্ত যার উপকেন্দ্র $S(-1, 3)$ এবং উৎকেন্দ্রিকতা $e = 1$।
   দেওয়া আছে, নিয়ামকরেখা $MZM'$-এর সমীকরণ: $x - 2y + 1 = 0$
   পরাবৃত্তের উপরস্থ যে-কোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে, $P$ থেকে নিয়ামকরেখার লম্ব দূরত্ব $PM$।

   পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,
   $SP = PM$
   $\implies SP^2 = PM^2$
   $\implies (x - (-1))^2 + (y - 3)^2 = \left( \frac{x - 2y + 1}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} \right)^2$
   $\implies (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = \frac{(x - 2y + 1)^2}{1 + 4}$
   $\implies 5\left[(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9)\right] = (x - 2y + 1)^2$
   $\implies 5(x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10) = x^2 + 4y^2 + 1 - 4xy - 4y + 2x$
   $\implies 5x^2 + 5y^2 + 10x - 30y + 50 = x^2 - 4xy + 4y^2 + 2x - 4y + 1$
   $\implies 4x^2 + 4xy + y^2 + 8x - 26y + 49 = 0$

   নির্ণেয় কণিকটির সমীকরণ: $4x^2 + 4xy + y^2 + 8x - 26y + 49 = 0$ (বা, $(2x + y)^2 + 8x - 26y + 49 = 0$)।