উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: g(x)=11−9x+20x2\mathrm{g}(\mathrm{x})=\frac{1}{1-9 x+20 x^{2}} দৃশ্যকল্প-২: mx2+nx+s=0m x^{2}+n x+s=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

  1. ক)

    −4−4i-4-4 i জটিল সংখ্যার আর্গুনেন্ট নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে g(x)\mathrm{g}(\mathrm{x}) এর বিস্তৃতির xnx^{n} এর সহগ নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে m=9,n=2, s=13(p+2)\mathrm{m}=9, \mathrm{n}=2, \mathrm{~s}=\frac{1}{3}(p+2) হলে প্রাপ্ত সমীকরণের একটি মূল যদি অপরটির বর্গের সমান হয় তবে p\mathrm{p} এর মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, z=−4−4iz = -4 - 4i
    এখানে, বাস্তব অংশ x=−4<0x = -4 < 0 এবং কাল্পনিক অংশ y=−4<0y = -4 < 0।
    অতএব, সংখ্যাটি জটিল সমতলের তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
    সুতরাং, মুখ্য আর্গুমেন্ট, θ=−π+tan⁡−1∣yx∣\theta = -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|
    =−π+tan⁡−1∣−4−4∣= -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{-4}{-4}\right|
    =−π+tan⁡−1(1)= -\pi + \tan^{-1}(1)
    =−π+π4=−3π4= -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}
    (সাধারণ আর্গুমেন্ট হিসেবে ধরলে π+π4=5π4\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4})।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ হতে,
    g(x)=11−9x+20x2=120x2−9x+1g(x) = \frac{1}{1 - 9x + 20x^2} = \frac{1}{20x^2 - 9x + 1}
    =1(1−4x)(1−5x)= \frac{1}{(1 - 4x)(1 - 5x)}

    আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই:
    1(1−4x)(1−5x)=A1−4x+B1−5x\frac{1}{(1 - 4x)(1 - 5x)} = \frac{A}{1 - 4x} + \frac{B}{1 - 5x}
    1=A(1−5x)+B(1−4x)1 = A(1 - 5x) + B(1 - 4x)
    x=14x = \frac{1}{4} বসিয়ে: 1=A(1−54)  ⟹  A=−41 = A\left(1 - \frac{5}{4}\right) \implies A = -4
    x=15x = \frac{1}{5} বসিয়ে: 1=B(1−45)  ⟹  B=51 = B\left(1 - \frac{4}{5}\right) \implies B = 5

    অতএব,
    g(x)=51−5x−41−4xg(x) = \frac{5}{1 - 5x} - \frac{4}{1 - 4x}
    =5(1−5x)−1−4(1−4x)−1= 5(1 - 5x)^{-1} - 4(1 - 4x)^{-1}
    =5[1+5x+(5x)2+⋯+(5x)n+… ]−4[1+4x+(4x)2+⋯+(4x)n+… ]= 5\left[1 + 5x + (5x)^2 + \dots + (5x)^n + \dots\right] - 4\left[1 + 4x + (4x)^2 + \dots + (4x)^n + \dots\right]

    সুতরাং, g(x)g(x) এর বিস্তৃতিতে xnx^n এর সহগ:
    =5⋅5n−4⋅4n=5n+1−4n+1= 5 \cdot 5^n - 4 \cdot 4^n = 5^{n+1} - 4^{n+1}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ হতে দ্বিঘাত সমীকরণ: mx2+nx+s=0mx^2 + nx + s = 0
    প্রদত্ত মান: m=9,n=2,s=13(p+2)m = 9, n = 2, s = \frac{1}{3}(p+2)
    তাহলে সমীকরণটি হয়: 9x2+2x+13(p+2)=09x^2 + 2x + \frac{1}{3}(p+2) = 0

    প্রশ্নমতে, সমীকরণের একটি মূল অপরটির বর্গ। ধরি, মূলদ্বয় α\alpha এবং α2\alpha^2।
    মূলদ্বয়ের যোগফল:
    α+α2=−29  ⟹  9α2+9α+2=0\alpha + \alpha^2 = -\frac{2}{9} \implies 9\alpha^2 + 9\alpha + 2 = 0
    বা, 9α2+6α+3α+2=09\alpha^2 + 6\alpha + 3\alpha + 2 = 0
    বা, 3α(3α+2)+1(3α+2)=03\alpha(3\alpha + 2) + 1(3\alpha + 2) = 0
    বা, (3α+1)(3α+2)=0(3\alpha + 1)(3\alpha + 2) = 0
    ∴α=−13\therefore \alpha = -\frac{1}{3} অথবা α=−23\alpha = -\frac{2}{3}

    আবার, মূলদ্বয়ের গুণফল:
    α⋅α2=α3=13(p+2)9=p+227\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{\frac{1}{3}(p+2)}{9} = \frac{p+2}{27}
    বা, p+2=27α3p + 2 = 27\alpha^3
    বা, p=27α3−2p = 27\alpha^3 - 2

    যদি α=−13\alpha = -\frac{1}{3} হয়:
    p=27(−13)3−2=27(−127)−2=−1−2=−3p = 27\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - 2 = 27\left(-\frac{1}{27}\right) - 2 = -1 - 2 = -3

    যদি α=−23\alpha = -\frac{2}{3} হয়:
    p=27(−23)3−2=27(−827)−2=−8−2=−10p = 27\left(-\frac{2}{3}\right)^3 - 2 = 27\left(-\frac{8}{27}\right) - 2 = -8 - 2 = -10

    অতএব, pp এর মান −3-3 অথবা −10-10।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন