উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $B = \begin{bmatrix} K + 4 & 3 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$
   ম্যাট্রিক্স $B$ ব্যতিক্রমী (singular) হলে এর নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।
   অতএব, $|B| = 0$
   $\implies (K+4)(4) - (3)(4) = 0$
   $\implies 4K + 16 - 12 = 0$
   $\implies 4K + 4 = 0$
   $\implies 4K = -4$
   $\implies K = -1$

   সুতরাং, $K$-এর মান $-1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, $A = (A^{-1})^{-1} = \frac{1}{|A^{-1}|} \text{adj}(A^{-1})$

   প্রদত্ত, $A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -4 & 1 \end{bmatrix}$

   $|A^{-1}| = 2(0 - 8) - (-1)(3 - (-2)) + 1(-12 - 0)$
   $= 2(-8) + 1(5) + 1(-12) = -16 + 5 - 12 = -23$

   $A^{-1}$-এর উপাদানগুলোর সহগুণকসমূহ:
   $C_{11} = + (0 - 8) = -8$
   $C_{12} = - (3 - (-2)) = -5$
   $C_{13} = + (-12 - 0) = -12$
   $C_{21} = - (-1 - (-4)) = -3$
   $C_{22} = + (2 - 1) = 1$
   $C_{23} = - (-8 - (-1)) = 7$
   $C_{31} = + (2 - 0) = 2$
   $C_{32} = - (-4 - 3) = 7$
   $C_{33} = + (0 - (-3)) = 3$

   সহগুণক ম্যাট্রিক্স:
   $C = \begin{bmatrix} -8 & -5 & -12 \\ -3 & 1 & 7 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

   $\text{adj}(A^{-1}) = C^T = \begin{bmatrix} -8 & -3 & 2 \\ -5 & 1 & 7 \\ -12 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

   অতএব, $A = (A^{-1})^{-1} = -\frac{1}{23} \begin{bmatrix} -8 & -3 & 2 \\ -5 & 1 & 7 \\ -12 & 7 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{8}{23} & \frac{3}{23} & -\frac{2}{23} \\ \frac{5}{23} & -\frac{1}{23} & -\frac{7}{23} \\ \frac{12}{23} & -\frac{7}{23} & -\frac{3}{23} \end{bmatrix}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণজোটকে সরল করে পাই:
   ১ম সমীকরণ: $\frac{x}{5} - \frac{2y}{5} + z = 1 \implies x - 2y + 5z = 5$
   ২য় সমীকরণ: $x + \frac{y}{4} + \frac{3z}{4} = 1 \implies 4x + y + 3z = 4$
   ৩য় সমীকরণ: $\frac{x}{3} - y + \frac{2z}{3} = 1 \implies x - 3y + 2z = 3$

   ক্রেমারের নিয়ম অনুসারে:
   $D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 4 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
   $= 1(2 - (-9)) - (-2)(8 - 3) + 5(-12 - 1)$
   $= 1(11) + 2(5) + 5(-13) = 11 + 10 - 65 = -44$

   $D_x = \begin{vmatrix} 5 & -2 & 5 \\ 4 & 1 & 3 \\ 3 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
   $= 5(2 - (-9)) - (-2)(8 - 9) + 5(-12 - 3)$
   $= 5(11) + 2(-1) + 5(-15) = 55 - 2 - 75 = -22$

   $D_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 5 \\ 4 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$
   $= 1(8 - 9) - 5(8 - 3) + 5(12 - 4)$
   $= 1(-1) - 5(5) + 5(8) = -1 - 25 + 40 = 14$

   $D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 4 & 1 & 4 \\ 1 & -3 & 3 \end{vmatrix}$
   $= 1(3 - (-12)) - (-2)(12 - 4) + 5(-12 - 1)$
   $= 1(15) + 2(8) + 5(-13) = 15 + 16 - 65 = -34$

   অতএব,
   $x = \frac{D_x}{D} = \frac{-22}{-44} = \frac{1}{2}$
   $y = \frac{D_y}{D} = \frac{14}{-44} = -\frac{7}{22}$
   $z = \frac{D_z}{D} = \frac{-34}{-44} = \frac{17}{22}$

   নির্ণেয় সমাধান: $(x, y, z) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{7}{22}, \frac{17}{22}\right)$।