গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $y = e^{3x}\sin 2x$

আমরা জানি, $y = e^{ax}\sin bx$ হলে এর $n$-তম অন্তরজ:
$y_n = (a^2 + b^2)^{n/2} e^{ax} \sin\left(bx + n\tan^{-1}\frac{b}{a}\right)$

এখানে, $a = 3$ এবং $b = 2$।

ধরি, $3 = r\cos\theta$ এবং $2 = r\sin\theta$
অতএব,
$r = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} = 13^{1/2}$
এবং
$\tan\theta = \frac{2}{3} \implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$

সুতরাং,
$y_n = \frac{d^n}{dx^n}(e^{3x}\sin 2x) = (13)^{n/2} e^{3x} \sin\left(2x + n\theta\right)$
$= 13^{n/2} e^{3x} \sin\left(2x + n\tan^{-1}\frac{2}{3}\right)$

নির্ণেয় $n$-তম অন্তরজ: $13^{n/2} e^{3x} \sin\left(2x + n\tan^{-1}\frac{2}{3}\right)$।