উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, \cot x = \frac{1}{9}
   \Rightarrow \tan x = 9।

   আমরা জানি,
   \cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 9^2}{1 + 9^2} = \frac{1 - 81}{1 + 81} = \frac{-80}{82} = -\frac{40}{41}।

   অতএব,
   \sec 2x = \frac{1}{\cos 2x} = -\frac{41}{40}।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, f(x) = x e^x এবং g(x) = (x + 1)^3।
   এখানে, \frac{d}{dx}{g(x)} = 3(x + 1)^2।

   সুতরাং,
   \int_{0}^{3} \frac{f(x)}{\frac{d}{dx}{g(x)}} dx = \int_{0}^{3} \frac{x e^x}{3(x+1)^2} dx
   = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} \frac{(x+1-1) e^x}{(x+1)^2} dx
   = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} e^x \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2} \right] dx।

   আমরা জানি, \int e^x [u(x) + u'(x)] dx = e^x u(x)।
   এখানে u(x) = \frac{1}{x+1} হলে u'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}।

   অতএব,
   = \frac{1}{3} \left[ \frac{e^x}{x+1} \right]_0^3
   = \frac{1}{3} \left[ \frac{e^3}{3+1} - \frac{e^0}{0+1} \right]
   = \frac{1}{3} \left( \frac{e^3}{4} - 1 \right)
   = \frac{e^3 - 4}{12}।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উপবৃত্তের সমীকরণ: \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{5}{6}\sqrt{36 - x^2}।
   এবং সরলরেখাটি হলো x = 3।

   উপবৃত্তটি x = 6 ও x = -6 এ x-অক্ষকে ছেদ করে।
   x = 3 সরলরেখা এবং উপবৃত্তের আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশটি x = 3 হতে x = 6 সীমার মধ্যে অবস্থিত।

   প্রতিসাম্যতার কারণে, আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল:
   A = 2 \int_{3}^{6} y , dx
   = 2 \int_{3}^{6} \frac{5}{6}\sqrt{36 - x^2} , dx
   = \frac{5}{3} \int_{3}^{6} \sqrt{6^2 - x^2} , dx
   = \frac{5}{3} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{36 - x^2} + \frac{36}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{6}\right) \right]_3^6
   = \frac{5}{3} \left[ \left(0 + 18\sin^{-1}(1)\right) - \left(\frac{3}{2}\sqrt{36 - 9} + 18\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) \right]
   = \frac{5}{3} \left[ 18\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{3\sqrt{27}}{2} - 18\left(\frac{\pi}{6}\right) \right]
   = \frac{5}{3} \left[ 9\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2} - 3\pi \right]
   = \frac{5}{3} \left[ 6\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2} \right]
   = 10\pi - \frac{15\sqrt{3}}{2} \text{ বর্গ একক}।