∫ex(1−x1+x2)2dx এর মান বের কর। \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} ight)^2 dx ext{ এর মান বের কর।} (Find the value of ∫ex(1−x1+x2)2dx) ext{(Find the value of } \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} ight)^2 dx ext{)}

Question

∫ex(1−x1+x2)2dx এর মান বের কর। \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} ight)^2 dx 	ext{ এর মান বের কর।} (Find the value of ∫ex(1−x1+x2)2dx) 	ext{(Find the value of } \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} ight)^2 dx 	ext{)}

Accepted Answer

ঙ. ex1+x2+C\frac{e^x}{1+x^2} + C

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমাকলনটি হলো:
$$\int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx$$

রাশিটি সরলীকরণ করলে পাই:
$$\left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 = \frac{(1-x)^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - 2x + x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{(1+x^2) - 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2}$$

আমরা জানি, $$\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$$

এখানে, $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ বিবেচনা করলে পাই:
$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1+x^2} \right) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$$

অতএব,
$$\int e^x \left[ \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx = \frac{e^x}{1+x^2} + C$$

সুতরাং সঠিক উত্তর হলো Option 5।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন