উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১ :
দৃশ্যকল্প-২ : 2l দীর্ঘ এবং P ওজন বিশিষ্ট একটি সুষম তক্তা d দূরত্বে অবস্থিত দুইটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে অবস্থিত। একে না উল্টিয়ে এর দুই প্রান্তে পর্যায়ক্রমে Q এবং R ওজন ঝুলানো যায়।

  1. ক)

    7 ও 8 কিলোগ্রাম ওজনের দুটি বলের লব্ধি 13 কিলোগ্রাম হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে L, M, N বল তিনটি O বিন্দুতে ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে। প্রমাণ কর যে, N2=M(M−L)\mathrm{N}^{2}=\mathrm{M}(\mathrm{M}-\mathrm{L}).

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, QP+Q+RP+R=dl\frac{Q}{P+Q}+\frac{R}{P+R}=\frac{d}{l}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha।
    দেওয়া আছে, বলদ্বয়ের মান P=7P = 7 কেজি-ওজন এবং Q=8Q = 8 কেজি-ওজন।
    লব্ধি, R=13R = 13 কেজি-ওজন।

    আমরা জানি,
    R2=P2+Q2+2PQcos⁡αR^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\alpha
    বা, 132=72+82+2⋅7⋅8⋅cos⁡α13^2 = 7^2 + 8^2 + 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos\alpha
    বা, 169=49+64+112cos⁡α169 = 49 + 64 + 112 \cos\alpha
    বা, 169=113+112cos⁡α169 = 113 + 112 \cos\alpha
    বা, 112cos⁡α=169−113=56112 \cos\alpha = 169 - 113 = 56
    বা, cos⁡α=56112=12\cos\alpha = \frac{56}{112} = \frac{1}{2}
    বা, α=cos⁡−1(12)=60∘\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ

    অতএব, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ 60∘60^\circ।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ এর চিত্রানুযায়ী, OO বিন্দুতে ক্রিয়ারত L,M,NL, M, N বলত্রয় ভারসাম্যে রয়েছে।
    চিত্রে,
    LL ও MM এর মধ্যবর্তী কোণ =2α= 2\alpha
    LL ও NN এর মধ্যবর্তী কোণ =α= \alpha
    সুতরাং, MM ও NN এর মধ্যবর্তী কোণ =360∘−(2α+α)=360∘−3α= 360^\circ - (2\alpha + \alpha) = 360^\circ - 3\alpha

    লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
    Lsin⁡(360∘−3α)=Msin⁡α=Nsin⁡2α\frac{L}{\sin(360^\circ - 3\alpha)} = \frac{M}{\sin\alpha} = \frac{N}{\sin 2\alpha}
    বা, L−sin⁡3α=Msin⁡α=Nsin⁡2α\frac{L}{-\sin 3\alpha} = \frac{M}{\sin\alpha} = \frac{N}{\sin 2\alpha}

    দ্বিতীয় ও তৃতীয় অনুপাত থেকে,
    Msin⁡α=N2sin⁡αcos⁡α\frac{M}{\sin\alpha} = \frac{N}{2\sin\alpha \cos\alpha}
    বা, cos⁡α=N2M\cos\alpha = \frac{N}{2M} ... (i)

    আবার, প্রথম ও দ্বিতীয় অনুপাত থেকে,
    L−sin⁡3α=Msin⁡α\frac{L}{-\sin 3\alpha} = \frac{M}{\sin\alpha}
    বা, −L3sin⁡α−4sin⁡3α=Msin⁡α\frac{-L}{3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha} = \frac{M}{\sin\alpha}
    বা, −L3−4sin⁡2α=M\frac{-L}{3 - 4\sin^2\alpha} = M
    বা, −L3−4(1−cos⁡2α)=M\frac{-L}{3 - 4(1 - \cos^2\alpha)} = M
    বা, −L4cos⁡2α−1=M\frac{-L}{4\cos^2\alpha - 1} = M
    বা, −L=M(4cos⁡2α−1)-L = M(4\cos^2\alpha - 1)
    বা, 4Mcos⁡2α−M+L=04M\cos^2\alpha - M + L = 0
    বা, 4Mcos⁡2α=M−L4M\cos^2\alpha = M - L

    সমীকরণ (i) থেকে cos⁡α\cos\alpha-এর মান বসিয়ে পাই,
    4M(N2M)2=M−L4M \left(\frac{N}{2M}\right)^2 = M - L
    বা, 4M⋅N24M2=M−L4M \cdot \frac{N^2}{4M^2} = M - L
    বা, N2M=M−L\frac{N^2}{M} = M - L
    বা, N2=M(M−L)N^2 = M(M - L) (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    মনে করি, ABAB একটি সুষম তক্তা যার দৈর্ঘ্য AB=2lAB = 2l। তক্তার মধ্যবিন্দু GG-তে তক্তার ওজন PP খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে। সুতরাং, AG=GB=lAG = GB = l।

    ধরি, তক্তাটি CC ও DD বিন্দুতে অবস্থিত দুটি খুঁটির উপর অনুভূমিকভাবে অবস্থিত, যেখানে CD=dCD = d।

    ১ম ক্ষেত্রে:
    AA প্রান্তে QQ ওজন ঝুলালে তক্তাটি উল্টানোর উপক্রম হয়, অর্থাৎ তক্তাটি DD খুঁটির সাথে সংযোগ হারায় এবং CC খুঁটির উপর ভর করে ভারসাম্য বজায় রাখে।
    অতএব, AA বিন্দুতে QQ বল এবং GG বিন্দুতে PP বলের লব্ধি CC বিন্দু দিয়ে যায়।
    CC বিন্দুর সাপেক্ষে বলদ্বয়ের ভ্রামক নিয়ে পাই:
    Q⋅AC=P⋅CGQ \cdot AC = P \cdot CG
    বা, Q⋅AC=P(AG−AC)Q \cdot AC = P(AG - AC)
    বা, Q⋅AC=P(l−AC)Q \cdot AC = P(l - AC)
    বা, (P+Q)AC=P⋅l(P + Q)AC = P \cdot l
    বা, AC=P⋅lP+QAC = \frac{P \cdot l}{P + Q} ... (i)

    ২য় ক্ষেত্রে:
    BB প্রান্তে RR ওজন ঝুলালে তক্তাটি CC খুঁটির উপর থেকে আলগা হয়ে DD খুঁটির উপর ভারসাম্য রক্ষা করে।
    সুতরাং, GG বিন্দুতে PP বল এবং BB বিন্দুতে RR বলের লব্ধি DD বিন্দু দিয়ে যায়।
    DD বিন্দুর সাপেক্ষে ভ্রামক নিয়ে পাই:
    R⋅BD=P⋅GDR \cdot BD = P \cdot GD
    বা, R⋅BD=P(GB−BD)R \cdot BD = P(GB - BD)
    বা, R⋅BD=P(l−BD)R \cdot BD = P(l - BD)
    বা, (P+R)BD=P⋅l(P + R)BD = P \cdot l
    বা, BD=P⋅lP+RBD = \frac{P \cdot l}{P + R} ... (ii)

    চিত্রানুযায়ী,
    AC+CD+BD=ABAC + CD + BD = AB
    বা, AC+d+BD=2lAC + d + BD = 2l
    বা, d=2l−(AC+BD)d = 2l - (AC + BD)

    (i) ও (ii) থেকে মান বসিয়ে পাই:
    d=2l−(PlP+Q+PlP+R)d = 2l - \left(\frac{Pl}{P + Q} + \frac{Pl}{P + R}\right)
    বা, dl=2−(PP+Q+PP+R)\frac{d}{l} = 2 - \left(\frac{P}{P + Q} + \frac{P}{P + R}\right)
    বা, dl=(1−PP+Q)+(1−PP+R)\frac{d}{l} = \left(1 - \frac{P}{P + Q}\right) + \left(1 - \frac{P}{P + R}\right)
    বা, dl=P+Q−PP+Q+P+R−PP+R\frac{d}{l} = \frac{P + Q - P}{P + Q} + \frac{P + R - P}{P + R}
    বা, dl=QP+Q+RP+R\frac{d}{l} = \frac{Q}{P + Q} + \frac{R}{P + R}

    অতএব, QP+Q+RP+R=dl\frac{Q}{P + Q} + \frac{R}{P + R} = \frac{d}{l} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন