উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, AB রেখার সমীকরণ:
   x + y = 4
   বা, y = -x + 4

   সুতরাং AB রেখার ঢাল, m = -1
   ধরি, রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।
   তাহলে, tan θ = -1 = tan(180° - 45°) = tan 135°
   ∴ θ = 135°

   উত্তর: AB রেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে 135° কোণ উৎপন্ন করে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   AB রেখার সমীকরণ: x + y = 4, যার ঢাল m₁ = -1।
   চিত্রে দেখা যায়, CD রেখাটি AB-এর ওপর লম্ব এবং তা D(-8, -2) বিন্দুগামী।
   যেহেতু CD ⊥ AB, সুতরাং CD রেখার ঢাল, m₂ = -1 / m₁ = 1।

   অতএব, D(-8, -2) বিন্দুগামী CD রেখার সমীকরণ:
   y - (-2) = 1 · (x - (-8))
   বা, y + 2 = x + 8
   বা, x - y + 6 = 0

   CD রেখাটি x-অক্ষকে E বিন্দুতে ছেদ করায়, y = 0 বসিয়ে পাই:
   x - 0 + 6 = 0 => x = -6
   অতএব, E বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-6, 0)।

   এখন, AB রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ: x + y + k = 0
   যেহেতু রেখাটি E(-6, 0) বিন্দুগামী:
   -6 + 0 + k = 0 => k = 6
   সুতরাং রেখাটির সমীকরণ: x + y + 6 = 0 বা, x + y = -6
   বা, x/(-6) + y/(-6) = 1

   অতএব, অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × |-6| × |-6| = 18 বর্গ একক।

   উত্তর: 18 বর্গ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   খ হতে পাই, E বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-6, 0) এবং CD রেখার সমীকরণ: x - y = -6 ... (i)
   দেওয়া আছে AB রেখার সমীকরণ: x + y = 4 ... (ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
   2x = -2 => x = -1
   (ii) নং এ x = -1 বসিয়ে পাই:
   -1 + y = 4 => y = 5
   অতএব, রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু C এর স্থানাঙ্ক (-1, 5)।

   এখন, E(-6, 0) ও C(-1, 5) রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় ধরা যাক P ও Q, যেখানে P বিন্দুটি EC কে 1:2 এবং Q বিন্দুটি EC কে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

   P বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   ( (1·(-1) + 2·(-6))/(1 + 2), (1·5 + 2·0)/(1 + 2) ) = (-13/3, 5/3)

   Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   ( (2·(-1) + 1·(-6))/(2 + 1), (2·5 + 1·0)/(2 + 1) ) = (-8/3, 10/3)

   মূলবিন্দু O(0, 0) এবং P(-13/3, 5/3) বিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ:
   y - 0 = [ (5/3 - 0) / (-13/3 - 0) ] · (x - 0)
   বা, y = -(5/13)x
   বা, 5x + 13y = 0

   আবার, মূলবিন্দু O(0, 0) এবং Q(-8/3, 10/3) বিন্দুর সংযোগ রেখার সমীকরণ:
   y - 0 = [ (10/3 - 0) / (-8/3 - 0) ] · (x - 0)
   বা, y = -(10/8)x = -(5/4)x
   বা, 5x + 4y = 0

   উত্তর: নির্ণেয় সমীকরণদ্বয় 5x + 13y = 0 এবং 5x + 4y = 0।