∫0π4dx1+sin⁡x \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin x} এর মান কত?

Question

Accepted Answer

ঘ. 2−2 2 - \sqrt{2}

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমাকলনটি সমাধান করার জন্য লব ও হরকে $(1 - \sin x)$ দ্বারা গুণ করা যাক:

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin x} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} dx$$

$$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - \sec x 	an x) dx$$

আমরা জানি, $\int \sec^2 x dx = 	an x$ এবং $\int \sec x 	an x dx = \sec x$।

সুতরাং,
$$I = [	an x - \sec x]_0^{\frac{\pi}{4}}$$
$$= \left(	an\frac{\pi}{4} - \sec\frac{\pi}{4}ight) - (	an 0 - \sec 0)$$
$$= (1 - \sqrt{2}) - (0 - 1)$$
$$= 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2}$$

অতএব, নির্ণেয় মান হলো $2 - \sqrt{2}$, যা অপশন 4-এ রয়েছে।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন