উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পোলার সমীকরণ:
   $r = 4\cos\theta$
   উভয়পক্ষকে $r$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $r^2 = 4r\cos\theta$
   আমরা জানি, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ এবং $x^2 + y^2 = r^2$।
   সুতরাং, $x^2 + y^2 = 4x$
   $\implies x^2 + y^2 - 4x = 0$
   $\implies (x - 2)^2 + y^2 = 2^2$
   বৃত্তটির কেন্দ্রের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(2, 0)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ১ম বৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $C = (3, -1)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{9 + 1 - 1} = 3$

   প্রদত্ত সরলরেখা: $3x + 4y - 1 = 0$
   এর সমান্তরাল যে কোনো রেখার সমীকরণ:
   $3x + 4y + k = 0$ ..... (i)

   (i) রেখাটি ১ম বৃত্তের স্পর্শক হলে, বৃত্তের কেন্দ্র $(3, -1)$ থেকে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ $3$-এর সমান হবে।
   $\therefore \frac{|3(3) + 4(-1) + k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 3$
   $\implies \frac{|9 - 4 + k|}{5} = 3$
   $\implies |k + 5| = 15$
   $\implies k + 5 = \pm 15$
   $\implies k = 15 - 5 = 10$ অথবা $k = -15 - 5 = -20$

   সুতরাং নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ:
   $3x + 4y + 10 = 0$ এবং $3x + 4y - 20 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত বৃত্ত দুটি:
   $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0$
   $S_2 \equiv x^2 + y^2 + 4x + 2y - 4 = 0$

   বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ:
   $S_1 - S_2 = 0$
   $\implies (x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1) - (x^2 + y^2 + 4x + 2y - 4) = 0$
   $\implies -10x + 5 = 0$
   $\implies 2x - 1 = 0$ ..... (i)

   উক্ত সাধারণ জ্যাকে ধারণকারী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ:
   $S_1 + \lambda (2x - 1) = 0$
   $\implies x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 + \lambda(2x - 1) = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + 2(\lambda - 3)x + 2y + (1 - \lambda) = 0$ ..... (ii)

   বৃত্ত (ii)-এর কেন্দ্র $= (-(\lambda - 3), -1) = (3 - \lambda, -1)$

   যেহেতু সাধারণ জ্যা (i) বৃত্তটির ব্যাস, সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র সাধারণ জ্যা-এর ওপর অবস্থিত হবে।
   $\therefore 2(3 - \lambda) - 1 = 0$
   $\implies 6 - 2\lambda - 1 = 0$
   $\implies 2\lambda = 5 \implies \lambda = \frac{5}{2}$

   $\lambda$-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   $x^2 + y^2 + 2\left(\frac{5}{2} - 3\right)x + 2y + \left(1 - \frac{5}{2}\right) = 0$
   $\implies x^2 + y^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)x + 2y - \frac{3}{2} = 0$
   $\implies x^2 + y^2 - x + 2y - \frac{3}{2} = 0$
   $\implies 2x^2 + 2y^2 - 2x + 4y - 3 = 0$

   এটিই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।