উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২: cos⁡x+cos⁡y=a,sin⁡x+sin⁡y=b\cos x + \cos y = a, \sin x + \sin y = b।

  1. ক)

    tan⁡3θ\tan 3\theta কে tan⁡θ\tan \theta এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে cos⁡(x+y)\cos(x + y) এর মান aa ও bb এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, bcos⁡C−ccos⁡B=(c−b)(1+cos⁡A)b \cos C - c \cos B = (c - b)(1 + \cos A)।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের মূল প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটি ছিল; বামপক্ষের bcos⁡C−ccos⁡Bb\cos C - c\cos B-এর স্থানে প্রমিত ত্রিকোণমিতিক রূপ a(cos⁡B−cos⁡C)a(\cos B - \cos C) ধরে প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়েছে।

    আমরা জানি,
    tan⁡3θ=tan⁡(2θ+θ)\tan 3\theta = \tan(2\theta + \theta)
    =tan⁡2θ+tan⁡θ1−tan⁡2θtan⁡θ= \frac{\tan 2\theta + \tan\theta}{1 - \tan 2\theta \tan\theta}
    =2tan⁡θ1−tan⁡2θ+tan⁡θ1−(2tan⁡θ1−tan⁡2θ)tan⁡θ= \frac{\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} + \tan\theta}{1 - \left(\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}\right)\tan\theta}
    =2tan⁡θ+tan⁡θ(1−tan⁡2θ)1−tan⁡2θ(1−tan⁡2θ)−2tan⁡2θ1−tan⁡2θ= \frac{\frac{2\tan\theta + \tan\theta(1 - \tan^2\theta)}{1 - \tan^2\theta}}{\frac{(1 - \tan^2\theta) - 2\tan^2\theta}{1 - \tan^2\theta}}
    =2tan⁡θ+tan⁡θ−tan⁡3θ1−3tan⁡2θ= \frac{2\tan\theta + \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}
    =3tan⁡θ−tan⁡3θ1−3tan⁡2θ= \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}

    অতএব, tan⁡3θ=3tan⁡θ−tan⁡3θ1−3tan⁡2θ\tan 3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}।

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের মূল প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটি ছিল; বামপক্ষের bcos⁡C−ccos⁡Bb\cos C - c\cos B-এর স্থানে প্রমিত ত্রিকোণমিতিক রূপ a(cos⁡B−cos⁡C)a(\cos B - \cos C) ধরে প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়েছে।

    দেওয়া আছে,
    cos⁡x+cos⁡y=a— (i)\cos x + \cos y = a \quad \text{--- (i)}
    sin⁡x+sin⁡y=b— (ii)\sin x + \sin y = b \quad \text{--- (ii)}

    ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর সূত্র প্রয়োগ করে পাই,
    2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=a— (iii)2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = a \quad \text{--- (iii)}
    2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=b— (iv)2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = b \quad \text{--- (iv)}

    সমীকরণ (iv)-কে সমীকরণ (iii) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    2sin⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)2cos⁡(x+y2)cos⁡(x−y2)=ba\frac{2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{b}{a}
    ⇒tan⁡(x+y2)=ba\Rightarrow \tan\left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{b}{a}

    আমরা জানি,
    cos⁡(x+y)=1−tan⁡2(x+y2)1+tan⁡2(x+y2)\cos(x+y) = \frac{1 - \tan^2\left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{x+y}{2}\right)}
    =1−(ba)21+(ba)2=1−b2a21+b2a2=a2−b2a2+b2= \frac{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2} = \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}

    নির্ণেয় মান: cos⁡(x+y)=a2−b2a2+b2\cos(x+y) = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}।

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের মূল প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটি ছিল; বামপক্ষের bcos⁡C−ccos⁡Bb\cos C - c\cos B-এর স্থানে প্রমিত ত্রিকোণমিতিক রূপ a(cos⁡B−cos⁡C)a(\cos B - \cos C) ধরে প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়েছে।

    [মুদ্রণজনিত ত্রুটি সংক্রান্ত দ্রষ্টব্য: উদ্দীপকের ত্রিভুজে কোসাইন সূত্র অনুযায়ী বামপক্ষ bcos⁡C−ccos⁡B=b(a2+b2−c22ab)−c(c2+a2−b22ca)=b2−c2ab\cos C - c\cos B = b\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) - c\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right) = \frac{b^2-c^2}{a}, যা সাধারণত ডানপক্ষ (c−b)(1+cos⁡A)(c-b)(1+\cos A)-এর সমান নয়। মূল পাঠ্যবই ও বোর্ড পরীক্ষার প্রমিত প্রশ্নটি হলো: a(cos⁡B−cos⁡C)=(c−b)(1+cos⁡A)a(\cos B - \cos C) = (c - b)(1 + \cos A)। নিচে এই সংশোধিত রূপটির প্রমাণ দেওয়া হলো।]

    প্রমাণ করতে হবে: a(cos⁡B−cos⁡C)=(c−b)(1+cos⁡A)a(\cos B - \cos C) = (c - b)(1 + \cos A)

    riangleABC riangle ABC-এ সাইন সূত্র অনুসারে,
    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
    যেখানে RR হলো ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ।
    সুতরাং, a=2Rsin⁡Aa = 2R\sin A, b=2Rsin⁡Bb = 2R\sin B, c=2Rsin⁡Cc = 2R\sin C।

    বামপক্ষ =a(cos⁡B−cos⁡C)= a(\cos B - \cos C)
    =2Rsin⁡A⋅2sin⁡(B+C2)sin⁡(C−B2)= 2R\sin A \cdot 2\sin\left(\frac{B+C}{2}\right)\sin\left(\frac{C-B}{2}\right)

    যেহেতু A+B+C=πA + B + C = \pi, তাই B+C2=π2−A2\frac{B+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} এবং sin⁡(B+C2)=cos⁡A2\sin\left(\frac{B+C}{2}\right) = \cos\frac{A}{2}।
    আবার, sin⁡A=2sin⁡A2cos⁡A2\sin A = 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}।

    মান বসিয়ে পাই,
    =2R(2sin⁡A2cos⁡A2)⋅2cos⁡A2sin⁡(C−B2)= 2R\left(2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}\right) \cdot 2\cos\frac{A}{2}\sin\left(\frac{C-B}{2}\right)
    =4Rcos⁡2A2⋅[2sin⁡A2sin⁡(C−B2)]= 4R \cos^2\frac{A}{2} \cdot \left[2\sin\frac{A}{2}\sin\left(\frac{C-B}{2}\right)\right]
    =4Rcos⁡2A2⋅[2cos⁡(B+C2)sin⁡(C−B2)][∵sin⁡A2=cos⁡(B+C2)]= 4R \cos^2\frac{A}{2} \cdot \left[2\cos\left(\frac{B+C}{2}\right)\sin\left(\frac{C-B}{2}\right)\right] \quad \left[\because \sin\frac{A}{2} = \cos\left(\frac{B+C}{2}\right)\right]
    =4Rcos⁡2A2[sin⁡C−sin⁡B]= 4R \cos^2\frac{A}{2} [\sin C - \sin B]
    =2cos⁡2A2[2Rsin⁡C−2Rsin⁡B]= 2\cos^2\frac{A}{2} [2R\sin C - 2R\sin B]
    =(1+cos⁡A)(c−b)= (1 + \cos A)(c - b)
    =(c−b)(1+cos⁡A)=ডানপক্ষ= (c - b)(1 + \cos A) = \text{ডানপক্ষ}

    অতএব, a(cos⁡B−cos⁡C)=(c−b)(1+cos⁡A)a(\cos B - \cos C) = (c - b)(1 + \cos A) (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন