উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি বিন্দুটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x, y) = (5, -5)$
   পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$ হলে,
   $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
   যেহেতু বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত ($x > 0, y < 0$):
   $\theta = -\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| = -\tan^{-1}\left|\frac{-5}{5}\right| = -\tan^{-1}(1) = -\frac{\pi}{4}$ (বা $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$)

   অতএব, নির্ণেয় পোলার স্থানাঙ্ক $\left(5\sqrt{2}, -\frac{\pi}{4}\right)$ বা $\left(5\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4}\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $A(3, -2)$ এবং $B(5, 6)$ বিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $M = \left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+6}{2}\right) = (4, 2)$

   $AB$ রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{6 - (-2)}{5 - 3} = \frac{8}{2} = 4$

   যেহেতু লম্ব সমদ্বিখণ্ডকটি $AB$-এর ওপর লম্ব, তাই এর ঢাল হবে:
   $m = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{4}$

   অতএব, $M(4, 2)$ বিন্দুগামী লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
   $y - 2 = -\frac{1}{4}(x - 4)$
   $\implies 4(y - 2) = -x + 4$
   $\implies 4y - 8 = -x + 4$
   $\implies x + 4y - 12 = 0$

   রেখাটি $y$-অক্ষকে ছেদ করলে $x = 0$ হবে:
   $0 + 4y - 12 = 0 \implies 4y = 12 \implies y = 3$

   সুতরাং, রেখাটি $y$-অক্ষকে $(0, 3)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রেখাদ্বয়:
   $3x + 4y - 1 = 0$ ... (i)
   $5x - 12y + 3 = 0$ ... (ii)

   এখানে,
   $a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = -1$
   $a_2 = 5, b_2 = -12, c_2 = 3$

   এখন, $a_1 a_2 + b_1 b_2 = (3)(5) + (4)(-12) = 15 - 48 = -33 < 0$

   যেহেতু $a_1 a_2 + b_1 b_2 < 0$, তাই স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডকের জন্য ঋণাত্মক ($-$) চিহ্ন নিতে হবে।

   সমদ্বিখণ্ডক রেখার সমীকরণ:
   $\frac{3x + 4y - 1}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = - \frac{5x - 12y + 3}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}}$
   $\implies \frac{3x + 4y - 1}{\sqrt{25}} = - \frac{5x - 12y + 3}{\sqrt{169}}$
   $\implies \frac{3x + 4y - 1}{5} = - \frac{5x - 12y + 3}{13}$
   $\implies 13(3x + 4y - 1) = -5(5x - 12y + 3)$
   $\implies 39x + 52y - 13 = -25x + 60y - 15$
   $\implies 39x + 25x + 52y - 60y - 13 + 15 = 0$
   $\implies 64x - 8y + 2 = 0$
   $\implies 32x - 4y + 1 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় স্থূলকোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ $32x - 4y + 1 = 0$।