গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$\sin x + \sin y = 1$ ..... (i)
এবং
$\cos x + \cos y = 0$ ..... (ii)

(i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
$2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 1$ ..... (iii)

(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
$2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) = 0$ ..... (iv)

সমীকরণ (iii) থেকে স্পষ্ট যে, $\cos\left(\frac{x-y}{2}\right) \neq 0$ (কারণ তা শূন্য হলে সমীকরণ (iii) এর বামপক্ষ শূন্য হতো, যা $1$ এর সমান হতে পারে না)।

সুতরাং সমীকরণ (iv) থেকে পাই,
$\cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = 0$

এখন, সমীকরণ (iii) কে (iv) দ্বারা ভাগ করে (অথবা $\cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = 0$ হতে $\sin\left(\frac{x+y}{2}\right) = \pm 1$ বিবেচনায় নিয়ে, যেহেতু সমীকরণ (iii) তে গুণফল ধনাত্মক $1$ এবং অপর পদদ্বয় বাস্তব):
$\frac{2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}$ অসংজ্ঞায়িত হওয়ার ক্ষেত্রে:

যেহেতু $\cos\left(\frac{x+y}{2}\right) = 0$,
তাহলে, $\frac{x+y}{2} = \frac{\pi}{2}$
$\implies x + y = \pi$

(প্রমাণিত)