গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য $AB = 2a$ এবং এর মধ্যবিন্দু $G$, ফলে $AG = a$।
দণ্ডটির ওজন $mg$ খাড়া নিচের দিকে $G$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।
উলম্ব দেওয়াল মসৃণ হওয়ায় $B$ বিন্দুতে প্রতিক্রিয়া বল $R_B$ অনুভূমিকভাবে দেওয়ালের সাথে লম্ব বরাবর (ডানদিকে) ক্রিয়া করবে।
অনুভূমিক মেঝে মসৃণ হওয়ায় $A$ বিন্দুতে প্রতিক্রিয়া বল $R_A$ মেঝের সাথে লম্ব বরাবর (উপরের দিকে) ক্রিয়া করবে।
$C$ বিন্দুতে প্রযুক্ত অনুভূমিক বল $F = \frac{mg}{3}$, যা বামদিকে ক্রিয়াশীল এবং $AC = \frac{a}{2}$।

উলম্বের সাথে দণ্ডটির কোণ $\theta$ হলে,
$A$ ও $B$ এর মধ্যকার উলম্ব ব্যবধান $OB = 2a\cos\theta$
$A$ ও $C$ এর মধ্যকার উলম্ব ব্যবধান $= \frac{a}{2}\cos\theta$
$A$ ও $G$ এর মধ্যকার অনুভূমিক ব্যবধান $= a\sin\theta$

অনুভূমিক বলের সাম্যাবস্থা থেকে:
$\sum F_x = 0 \implies R_B - \frac{mg}{3} = 0 \implies R_B = \frac{mg}{3}$

$A$ বিন্দুর সাপেক্ষে বলসমূহের মোমেন্ট (ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ধনাত্মক ধরে) নিয়ে পাই:
$\sum M_A = 0$
$R_B(2a\cos\theta) - mg(a\sin\theta) - \left(\frac{mg}{3}\right)\left(\frac{a}{2}\cos\theta\right) = 0$
$\implies \left(\frac{mg}{3}\right)(2a\cos\theta) - \left(\frac{mg}{6}\right)(a\cos\theta) = mga\sin\theta$

উভয়পক্ষকে $mga$ দ্বারা ভাগ করে পাই:
$\frac{2}{3}\cos\theta - \frac{1}{6}\cos\theta = \sin\theta$
$\implies \frac{3}{6}\cos\theta = \sin\theta$
$\implies \frac{1}{2}\cos\theta = \sin\theta$
$\implies \tan\theta = \frac{1}{2}$
$\implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \approx 26.57^\circ$

অতএব, দণ্ডটি উলম্বের সাথে $\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ বা প্রায় $26.57^\circ$ কোণ তৈরি করবে।