উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উদ্দীপক-১:সাঁতারুর বেগ এবং v স্রোতের বেগউদ্দীপক-২: R পাল্লার জন্য একটি প্রক্ষেপকের দুটি গতিপথের সর্বোচ্চ উচ্চতা h1 h_{1} ও h2 h_{2}

  1. ক)

    একটি বুলেট একটি তক্তা ভেদ করতে এর বেগের 110 \frac{1}{10} অংশ হারায়। মন্দন সুষম হলে, বুলেটটি থামার পূর্বে অনুরূপ কতগুলো তক্তা ভেদ করবে?

    (1)
  2. খ)

    একজন সাতারু সোজাসুজি একটি নদী পার হতে t' সময় লাগে । স্রোতের অনুকূলে একই দূরত্ব অতিক্রম করতে t” সময় লাগে ।উদ্দীপক-১ এর আলোকে দেখাও যে, t′:t′′=u+v:u−v \mathrm{t}^{\prime}: \mathrm{t}^{\prime \prime}=\sqrt{\mathrm{u}+\mathrm{v}}: \sqrt{\mathrm{u}-\mathrm{v}}

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপক-২ এর সাহায্য দেখাও যে, R=4h1h2 R=4 \sqrt{h_{1} h_{2}}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, বুলেটের আদিবেগ VV এবং প্রতিটি তক্তার পুরুত্ব xx।
    একটি তক্তা ভেদ করার পর বেগ হারায় 110V\frac{1}{10}V।
    অতএব, তক্তা ভেদ করার পর অবশিষ্ট বেগ,
    v1=V−110V=910Vv_1 = V - \frac{1}{10}V = \frac{9}{10}V

    যদি তক্তার প্রতিরোধকারী সুষম মন্দন ff হয়, তবে গতির সমীকরণ অনুযায়ী:
    v12=V2−2fxv_1^2 = V^2 - 2fx
    ⇒(910V)2=V2−2fx\Rightarrow \left(\frac{9}{10}V\right)^2 = V^2 - 2fx
    ⇒81100V2=V2−2fx\Rightarrow \frac{81}{100}V^2 = V^2 - 2fx
    ⇒2fx=V2−81100V2=19100V2\Rightarrow 2fx = V^2 - \frac{81}{100}V^2 = \frac{19}{100}V^2
    ⇒2f=19100xV2— (i)\Rightarrow 2f = \frac{19}{100x}V^2 \quad \text{--- (i)}

    ধরি, বুলেটটি থামার পূর্বে মোট ss দূরত্ব অতিক্রম করে এবং চূড়ান্ত বেগ v=0v = 0 হয়।
    তাহলে,
    v2=V2−2fsv^2 = V^2 - 2fs
    ⇒0=V2−2fs\Rightarrow 0 = V^2 - 2fs
    ⇒s=V22f\Rightarrow s = \frac{V^2}{2f}

    (i) নং হতে 2f2f-এর মান বসিয়ে পাই:
    s=V219100xV2=10019x=5519xs = \frac{V^2}{\frac{19}{100x}V^2} = \frac{100}{19}x = 5\frac{5}{19}x

    অতএব, বুলেটটি সম্পূর্ণরূপে ভেদ করতে পারবে 55 টি তক্তা এবং ৬ষ্ঠ তক্তার 519\frac{5}{19} অংশ ভেদ করে থেমে যাবে।
    অর্থাৎ, বুলেটটি থামার পূর্বে অনুরূপ আরও 44 টি তক্তা (বা মোট ৫টি পূর্ণ তক্তা) ভেদ করবে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-১ অনুসারে,
    সাঁতারুর বেগ =u= u, স্রোতের বেগ =v= v এবং নদীর প্রস্থ =d= d।

    ১ম ক্ষেত্রে (সোজাসুজি নদী পার হতে):
    সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছাতে সাঁতারুর লব্ধি বেগ নদীর তীরের সাথে লম্ব বরাবর হতে হবে।
    লব্ধি বেগ w=u2−v2w = \sqrt{u^2 - v^2} (যেখানে u>vu > v)।
    অতএব, সোজাসুজি নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়:
    t′=du2−v2t' = \frac{d}{\sqrt{u^2 - v^2}}

    ২য় ক্ষেত্রে (স্রোতের অনুকূলে একই দূরত্ব অতিক্রম করতে):
    স্রোতের অনুকূলে সাঁতারুর কার্যকর বেগ =u+v= u + v।
    অতএব, স্রোতের অনুকূলে একই দূরত্ব dd অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময়:
    t′′=du+vt'' = \frac{d}{u + v}

    অতএব, সময়ের অনুপাত:
    t′t′′=du2−v2du+v=u+vu2−v2=u+v(u+v)(u−v)=u+vu−v\frac{t'}{t''} = \frac{\frac{d}{\sqrt{u^2 - v^2}}}{\frac{d}{u + v}} = \frac{u + v}{\sqrt{u^2 - v^2}} = \frac{u + v}{\sqrt{(u+v)(u-v)}} = \frac{\sqrt{u+v}}{\sqrt{u-v}}

    ∴t′:t′′=u+v:u−v(দেখানো হলো)\therefore t' : t'' = \sqrt{u+v} : \sqrt{u-v} \quad \text{(দেখানো হলো)}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক-২ হতে,
    একটি নির্দিষ্ট আদিবেগ uu-এর জন্য একই অনুভূমিক পাল্লা RR পাওয়ার জন্য দুটি প্রক্ষেপণ কোণ পরস্পর পূরক কোণ হয়।
    ধরি, একটি প্রক্ষেপণ কোণ α\alpha হলে অপরটি হবে (90∘−α)(90^\circ - \alpha)।

    অনুভূমিক পাল্লা,
    R=u2sin⁡2αg=2u2sin⁡αcos⁡αg— (i)R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{2u^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g} \quad \text{--- (i)}

    প্রথম গতিপথের জন্য সর্বাধিক উচ্চতা:
    h1=u2sin⁡2α2gh_1 = \frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g}

    দ্বিতীয় গতিপথের জন্য সর্বাধিক উচ্চতা:
    h2=u2sin⁡2(90∘−α)2g=u2cos⁡2α2gh_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \alpha)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2\alpha}{2g}

    এখন, h1h_1 ও h2h_2-এর গুণফল:
    h1h2=(u2sin⁡2α2g)(u2cos⁡2α2g)=u4sin⁡2αcos⁡2α4g2h_1 h_2 = \left(\frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g}\right) \left(\frac{u^2 \cos^2\alpha}{2g}\right) = \frac{u^4 \sin^2\alpha \cos^2\alpha}{4g^2}
    ⇒h1h2=(2u2sin⁡αcos⁡α)216g2\Rightarrow h_1 h_2 = \frac{(2u^2 \sin\alpha \cos\alpha)^2}{16g^2}

    (i) নং হতে R=2u2sin⁡αcos⁡αgR = \frac{2u^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g} বসিয়ে পাই:
    h1h2=R216h_1 h_2 = \frac{R^2}{16}
    ⇒R2=16h1h2\Rightarrow R^2 = 16 h_1 h_2
    ∴R=4h1h2(দেখানো হলো)\therefore R = 4\sqrt{h_1 h_2} \quad \text{(দেখানো হলো)}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন