উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $\triangle ABC$ ত্রিভুজের তিনটি বাহু $BC$, $CA$ এবং $AB$ বরাবর একই ক্রমে যথাক্রমে তিনটি বল $\vec{P}$, $\vec{Q}$ এবং $\vec{R}$ কার্যকর এবং এদের মান সংশ্লিষ্ট বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্যের সমানুপাতিক (অথবা বাহু তিনটি দ্বারা নির্দেশিত)।

   সাধারণ ক্ষেত্রে, যদি তিনটি বলকে ত্রিভুজের বাহুগুলোর ভেক্টর দ্বারা সূচিত করা যায়, তবে:
   বলত্রয় যথাক্রমে $\vec{F}_1 = \vec{BC}$, $\vec{F}_2 = \vec{CA}$, $\vec{F}_3 = \vec{AB}$।

   অতএব, লব্ধি $\vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{BC} + \vec{CA} + \vec{AB}$।

   ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে,
   $\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$
   $\therefore \vec{F}_{net} = \vec{BA} + \vec{AB} = \vec{BA} - \vec{BA} = \vec{0}$।

   সুতরাং, বলত্রয়ের লব্ধি একটি শূন্য ভেক্টর (লব্ধির মান শূন্য)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-১ হতে, $ABC$ একটি ত্রিভুজ এবং $H$ হলো এর লম্ববিন্দু (orthocenter)। ত্রিভুজের বাহু $BC, CA, AB$ বরাবর যথাক্রমে $T, R, S$ মানের তিনটি বল কার্যকর রয়েছে (বাহু নির্দেশিত দিক বরাবর)।

   ধরি, $BC, CA, AB$ বাহু বরাবর ক্রিয়াশীল বলত্রয় যথাক্রমে $P, Q, R'$। এখানে চিত্রমতে বাহুত্রয় বরাবর বল তিনটি হলো যথাক্রমে বাহু $CA$ বরাবর $R$, বাহু $AB$ বরাবর $S$, এবং বাহু $BC$ বরাবর $T$।

   লম্ববিন্দু $H$ থেকে ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদূরত্ব যথাক্রমে:
   $p_1 = HD = 2R_0 \cos B \cos C$ (যেখানে $R_0$ পরিব্যাসার্ধ)
   $p_2 = HE = 2R_0 \cos C \cos A$
   $p_3 = HF = 2R_0 \cos A \cos B$

   যেহেতু বলত্রয়ের লব্ধি $H$ বিন্দুগামী, তাই লম্ববিন্দু $H$-এর সাপেক্ষে বলত্রয়ের মোমেন্ট বা বল-ঘূর্ণকের বীজগাণিতিক সমষ্টি শূন্য হবে।

   $\therefore T \cdot p_1 + R \cdot p_2 + S \cdot p_3 = 0$
   যেহেতু সকল বল বাহু বরাবর একই ক্রমে আবর্তিত (বা অনুরূপ ক্রমে), মানের দিক থেকে ভারসাম্য বজায় রাখতে হলে:
   $T \cdot (2R_0 \cos B \cos C) = R \cdot (2R_0 \cos C \cos A) = S \cdot (2R_0 \cos A \cos B)$ [প্রয়োজনীয় দিক নির্দেশক চিহ্ন বিবেচনায়]
   বা, $T \cos B \cos C = R \cos C \cos A = S \cos A \cos B$

   উভয়পক্ষকে $\cos A \cos B \cos C$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{T}{\cos A} = \frac{R}{\cos B} = \frac{S}{\cos C}$ — (এখানে বলগুলোর অনুপাত বাহুভিত্তিক প্রতিসাম্য অনুসারে নির্ধারিত হয়)।

   কিন্তু বলগুলো যদি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর লম্ব বরাবর প্রযুক্ত না হয়ে বাহুর সমান্তরাল হয়, তবে ভারিগননের উপপাদ্য অনুসারে এবং বাহুর দৈর্ঘ্য $a, b, c$-এর সাথে সম্পর্কিত করে:
   $H$ বিন্দুগামী লব্ধির শর্তানুযায়ী বাহু বরাবর প্রযুক্ত বলের ক্ষেত্রে:
   $\frac{R}{\tan A} = \frac{S}{\tan B} = \frac{T}{\tan C}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র-২ এ বল তিনটি একটি বিন্দু $O$-তে ক্রিয়াশীল এবং তাদের ক্রিয়ারেখাগুলো একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর সমান্তরাল।
   অতএব, বলগুলোর মধ্যবর্তী কোণগুলো সমবাহু ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণের সমান, অর্থাৎ প্রত্যেকে $120^\circ$ কোণে ক্রিয়াশীল।

   ধরি, অনুভূমিক বরাবর $6\text{ N}$ বলটি ক্রিয়াশীল।
   সুতরাং, বলত্রয়ের মধ্যবর্তী কোণ:

   • $6\text{ N}$ বলের কোণ $\alpha_1 = 0^\circ$
   • $8\text{ N}$ বলের কোণ $\alpha_2 = 120^\circ$
   • $10\text{ N}$ বলের কোণ $\alpha_3 = 240^\circ$

   ধরি, লব্ধির মান $R$ এবং লব্ধি অনুভূমিকের সাথে $\theta$ কোণ তৈরি করে।

   অনুভূমিক বরাবর বলগুলোর উপাংশ নিয়ে পাই:
   $X = 6 \cos 0^\circ + 8 \cos 120^\circ + 10 \cos 240^\circ$
   $X = 6(1) + 8\left(-\frac{1}{2}\right) + 10\left(-\frac{1}{2}\right)$
   $X = 6 - 4 - 5 = -3\text{ N}$

   উল্লম্ব বরাবর বলগুলোর উপাংশ নিয়ে পাই:
   $Y = 6 \sin 0^\circ + 8 \sin 120^\circ + 10 \sin 240^\circ$
   $Y = 6(0) + 8\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 10\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
   $Y = 0 + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = -\sqrt{3}\text{ N}$

   অতএব, লব্ধির মান:
   $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$
   $R = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\text{ N} \approx 3.464\text{ N}$

   উত্তর: নির্ণেয় লব্ধির মান $2\sqrt{3}\text{ N}$।