উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২২
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
উদ্দীপক-১: f(x)=cosxf(x)=\cos x
উদ্দীপক-2: cot−1(1x)+12sec−1(1+y21−y2)+12cosec−1(1+z22z)=π\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{2} \sec ^{-1}\left(\frac{1+y^{2}}{1-y^{2}}\right)+\frac{1}{2} \operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1+z^{2}}{2 z}\right)=\pi.
- ক)(2)
cotcos−1sintan−134\cot \cos ^{-1} \sin \tan ^{-1} \frac{3}{4} এর মান নির্ণয় কর।
- খ)(4)
(−2π,2π)(-2 \pi, 2 \pi) ব্যাবধিতে . f(x)+13f(π2−x)=13f(x)+\frac{1}{\sqrt{3}} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{3}} সমাধান কর।
- গ)(4)
উদ্দীপক-২ হতে প্রমাণ কর যে, x+y+z=xyz\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{xyz}.
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
ধরি, θ = tan^(-1)(3/4) ⇒ tan θ = 3/4।\nসমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করে, লম্ব = ৩, ভূমি = ৪, সুতরাং অতিভুজ = √(3^2 + 4^2) = 5।\nঅতএব, sin θ = 3/5 ⇒ θ = sin^(-1)(3/5)।\nতাহলে, sin tan^(-1)(3/4) = sin(sin^(-1)(3/5)) = 3/5।\n\nএখন, ধরি ϕ = cos^(-1)(3/5) ⇒ cos ϕ = 3/5।\nসমকোণী ত্রিভুজ থেকে, ভূমি = ৩, অতিভুজ = ৫, সুতরাং লম্ব = √(5^2 - 3^2) = 4।\nঅতএব, cot ϕ = 3/4 ⇒ ϕ = cot^(-1)(3/4)।\n\nসুতরাং, cot cos^(-1) sin tan^(-1)(3/4) = cot(cot^(-1)(3/4)) = 3/4।\nউত্তর: 3/4
- খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপক-১ থেকে পাই, f(x) = cos x\nসুতরাং, f(π/2 - x) = cos(π/2 - x) = sin x\n\nপ্রদত্ত সমীকরণ:\ncos x + (1/√3) sin x = 1/√3\n⇒ √3 cos x + sin x = 1\n\nউভয় পক্ষকে √( (√3)^2 + 1^2 ) = 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,\n(√3/2) cos x + (1/2) sin x = 1/2\n⇒ cos x cos(π/6) + sin x sin(π/6) = cos(π/3)\n⇒ cos(x - π/6) = cos(π/3)\n\nসাধারণ সমাধান:\nx - π/6 = 2nπ ± π/3, যেখানে n ∈ Z\n⇒ x = 2nπ ± π/3 + π/6\n\nধনাত্মক (+) চিহ্ন নিয়ে:\nx = 2nπ + π/3 + π/6 = 2nπ + π/2\nn = -1 হলে, x = -2π + π/2 = -3π/2 ∈ (-2π, 2π)\nn = 0 হলে, x = π/2 ∈ (-2π, 2π)\n\nঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে:\nx = 2nπ - π/3 + π/6 = 2nπ - π/6\nn = 0 হলে, x = -π/6 ∈ (-2π, 2π)\nn = 1 হলে, x = 2π - π/6 = 11π/6 ∈ (-2π, 2π)\n\nসুতরাং, (-2π, 2π) ব্যবধিতে সমীকরণটির সমাধান:\nx = -3π/2, -π/6, π/2, 11π/6।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপক-২ হতে পাই,\ncot^(-1)(1/x) + (1/2) sec^(-1)((1+y^2)/(1-y^2)) + (1/2) cosec^(-1)((1+z^2)/(2z)) = π\n\nআমরা জানি,\ncot^(-1)(1/x) = tan^(-1) x\nsec^(-1)((1+y^2)/(1-y^2)) = cos^(-1)((1-y^2)/(1+y^2)) = 2 tan^(-1) y\ncosec^(-1)((1+z^2)/(2z)) = sin^(-1)((2z)/(1+z^2)) = 2 tan^(-1) z\n\nসমীকরণে এই মানগুলো প্রতিস্থাপন করে পাই,\ntan^(-1) x + (1/2) · 2 tan^(-1) y + (1/2) · 2 tan^(-1) z = π\n⇒ tan^(-1) x + tan^(-1) y + tan^(-1) z = π\n⇒ tan^(-1) x + tan^(-1) y = π - tan^(-1) z\n⇒ tan^(-1)((x + y)/(1 - xy)) = π - tan^(-1) z\n\nউভয় পক্ষে tan প্রয়োগ করে পাই,\n(x + y)/(1 - xy) = tan(π - tan^(-1) z)\n⇒ (x + y)/(1 - xy) = -tan(tan^(-1) z) [যেহেতু tan(π - θ) = -tan θ]\n⇒ (x + y)/(1 - xy) = -z\n⇒ x + y = -z(1 - xy)\n⇒ x + y = -z + xyz\n⇒ x + y + z = xyz\n(প্রমাণিত)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও