উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ:
   $3x^2 + 2y^2 = 1$
   বা, $\frac{x^2}{\frac{1}{3}} + \frac{y^2}{\frac{1}{2}} = 1$

   এখানে, $a^2 = \frac{1}{3}$ এবং $b^2 = \frac{1}{2}$
   যেহেতু $b > a$, সেহেতু উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

   অতএব, নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{1}{\sqrt{3}}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র অনুসারে, দৃশ্যকল্প-১ এর উপবৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু $C(0,0)$ এবং বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

   উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুদ্বয় $L\left(\frac{3}{2}, 4\right)$ এবং $L'\left(\frac{3}{2}, -4\right)$।
   যেহেতু উপকেন্দ্র $S$ উপকেন্দ্রিক লম্ব $LL'$ এর মধ্যবিন্দু এবং $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত, তাই উপকেন্দ্র $S$-এর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$।

   আমরা জানি, প্রমিত উপবৃত্ত $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b$) এর উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(ae, 0)$।
   সুতরাং, $ae = \frac{3}{2}$

   দেওয়া আছে, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{3}$
   $\therefore a \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \implies a = \frac{9}{2}$

   আবার,
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$
   $\implies e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$
   $\implies \frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2 = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
   $\implies b^2 = \frac{8}{9} a^2 = \frac{8}{9} \times \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{8}{9} \times \frac{81}{4} = 18$

   এবং $a^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81}{4}$

   অতএব, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
   $\implies \frac{x^2}{\frac{81}{4}} + \frac{y^2}{18} = 1$
   $\implies \frac{4x^2}{81} + \frac{y^2}{18} = 1$
   $\implies 8x^2 + 9y^2 = 162$

   নির্ণেয় সমীকরণ: $8x^2 + 9y^2 = 162$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ:
   $4x^2 - 9y^2 - 16x + 54y - 101 = 0$
   $\implies 4(x^2 - 4x) - 9(y^2 - 6y) = 101$
   $\implies 4(x^2 - 4x + 4) - 9(y^2 - 6y + 9) = 101 + 16 - 81$
   $\implies 4(x - 2)^2 - 9(y - 3)^2 = 36$
   উভয়পক্ষকে $36$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{(x - 2)^2}{9} - \frac{(y - 3)^2}{4} = 1$

   ধরি, $X = x - 2$, $Y = y - 3$
   তাহলে অধিবৃত্তটির সমীকরণ দাঁড়ায়:
   $\frac{X^2}{3^2} - \frac{Y^2}{2^2} = 1$
   এখানে, $a = 3$ এবং $b = 2$।

   অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা,
   $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$

   উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\pm ae, 0)$:
   $X = \pm ae \implies x - 2 = \pm 3 \cdot \frac{\sqrt{13}}{3} = \pm \sqrt{13} \implies x = 2 \pm \sqrt{13}$
   এবং
   $Y = 0 \implies y - 3 = 0 \implies y = 3$

   অতএব, কনিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(2 + \sqrt{13}, 3)$ এবং $(2 - \sqrt{13}, 3)$ বা $(2 \pm \sqrt{13}, 3)$।