উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$ এবং $g(x) = e^x$।

   প্রদত্ত রাশি,
   $\lim_{x \to 0} \frac{g(\sin x) - 1}{f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - 1}{\sin x}$

   ধরি, $y = \sin x$। যখন $x \to 0$, তখন $y \to 0$।
   অতএব,
   $\lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1$

   নির্ণেয় মান: $1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$ এবং $g(x) = e^x$।
   অতএব, $f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$।

   ধরি, $I = \int g(x) f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) dx = \int e^x \cos x dx$

   অংশায়ন সূত্র (Integration by parts) প্রয়োগ করে পাই:
   $I = \cos x \int e^x dx - \int \left(\frac{d}{dx}(\cos x) \int e^x dx\right) dx$
   $\Rightarrow I = e^x \cos x - \int (-\sin x) e^x dx$
   $\Rightarrow I = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$

   আবার অংশায়ন সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
   $\int e^x \sin x dx = \sin x \int e^x dx - \int \left(\frac{d}{dx}(\sin x) \int e^x dx\right) dx$
   $= e^x \sin x - \int e^x \cos x dx = e^x \sin x - I$

   সুতরাং,
   $I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$
   $\Rightarrow 2I = e^x (\sin x + \cos x)$
   $\Rightarrow I = \frac{e^x}{2} (\sin x + \cos x) + c$, যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।

   নির্ণেয় যোগজ: $\frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + c$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = \sin x$, সুতরাং $f(2x) = \sin 2x$।

   প্রদত্ত নির্দিষ্ট যোগজ,
   $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) f(2x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sin 2x dx$

   আমরা জানি, $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$।
   সুতরাং, $\sin 2x \sin x = \frac{1}{2} [2 \sin 2x \sin x] = \frac{1}{2} [\cos(2x - x) - \cos(2x + x)] = \frac{1}{2} [\cos x - \cos 3x]$

   অতএব,
   $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \cos 3x) dx$
   $= \frac{1}{2} \left[ \sin x - \frac{\sin 3x}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
   $= \frac{1}{2} \left[ \left( \sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} \sin\frac{3\pi}{2} \right) - \left( \sin 0 - \frac{1}{3} \sin 0 \right) \right]$

   আমরা জানি, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ এবং $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$।
   $= \frac{1}{2} \left[ 1 - \frac{1}{3}(-1) - 0 \right]$
   $= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{3} \right]$
   $= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

   নির্ণেয় মান: $\frac{2}{3}$।