উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[a2b2c2a3b3c3a4−2ab4−2bc4−2c],P=[−323−1] এবং f(x)=5x2−11x \begin{array}{l}A=\left[\begin{array}{ccc}a^{2} & b^{2} & c^{2} \ a^{3} & b^{3} & c^{3} \ a^{4}-2 a & b^{4}-2 b & c^{4}-2 c\end{array}\right], P=\left[\begin{array}{rr}-3 & 2 \ 3 & -1\end{array}\right] \text { এবং } f(x)=5 x^{2}-11 x\end{array}

  1. ক)

    (3,–11) বিন্দু থেকে সর্বদা 5 একক দূরত্বে অবস্থিত কোনো চলমান বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    f(P)+6I2 \mathrm{f}(\mathrm{P})+6 \mathrm{I}_{2} নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    প্রমাণ কর যে, det(A) abc(abc-2) (a-b) (b-c) (c-a )

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, চলমান বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x,y)(x, y)।
    প্রশ্নমতে, (3,−11)(3, -11) বিন্দু থেকে (x,y)(x, y) বিন্দুর দূরত্ব 55 একক।
    ∴(x−3)2+(y−(−11))2=5\therefore \sqrt{(x-3)^2 + (y - (-11))^2} = 5
    উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
    (x−3)2+(y+11)2=52(x-3)^2 + (y+11)^2 = 5^2
    ⇒x2−6x+9+y2+22y+121=25\Rightarrow x^2 - 6x + 9 + y^2 + 22y + 121 = 25
    ⇒x2+y2−6x+22y+130−25=0\Rightarrow x^2 + y^2 - 6x + 22y + 130 - 25 = 0
    ⇒x2+y2−6x+22y+105=0\Rightarrow x^2 + y^2 - 6x + 22y + 105 = 0

    অতএব, নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ: x2+y2−6x+22y+105=0x^2 + y^2 - 6x + 22y + 105 = 0।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P=[−323−1]P = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} এবং f(x)=5x2−11xf(x) = 5x^2 - 11x

    ∴f(P)+6I2=5P2−11P+6I2\therefore f(P) + 6I_2 = 5P^2 - 11P + 6I_2

    এখন,
    P2=P⋅P=[−323−1][−323−1]P^2 = P \cdot P = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}
    =[(−3)(−3)+(2)(3)(−3)(2)+(2)(−1)(3)(−3)+(−1)(3)(3)(2)+(−1)(−1)]= \begin{bmatrix} (-3)(-3) + (2)(3) & (-3)(2) + (2)(-1) \\ (3)(-3) + (-1)(3) & (3)(2) + (-1)(-1) \end{bmatrix}
    =[9+6−6−2−9−36+1]=[15−8−127]= \begin{bmatrix} 9 + 6 & -6 - 2 \\ -9 - 3 & 6 + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & -8 \\ -12 & 7 \end{bmatrix}

    তাহলে,
    5P2=5[15−8−127]=[75−40−6035]5P^2 = 5\begin{bmatrix} 15 & -8 \\ -12 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 75 & -40 \\ -60 & 35 \end{bmatrix}

    11P=11[−323−1]=[−332233−11]11P = 11\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -33 & 22 \\ 33 & -11 \end{bmatrix}

    6I2=6[1001]=[6006]6I_2 = 6\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}

    সুতরাং,
    f(P)+6I2=[75−40−6035]−[−332233−11]+[6006]f(P) + 6I_2 = \begin{bmatrix} 75 & -40 \\ -60 & 35 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -33 & 22 \\ 33 & -11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}
    =[75−(−33)+6−40−22+0−60−33+035−(−11)+6]= \begin{bmatrix} 75 - (-33) + 6 & -40 - 22 + 0 \\ -60 - 33 + 0 & 35 - (-11) + 6 \end{bmatrix}
    =[114−62−9352]= \begin{bmatrix} 114 & -62 \\ -93 & 52 \end{bmatrix}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    det⁡(A)=∣a2b2c2a3b3c3a4−2ab4−2bc4−2c∣\det(A) = \begin{vmatrix} a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \\ a^4 - 2a & b^4 - 2b & c^4 - 2c \end{vmatrix}

    নির্ণায়কের ধর্ম প্রয়োগ করে আমরা এটিকে দুটি নির্ণায়কের যোগফল রূপে প্রকাশ করতে পারি:
    det⁡(A)=∣a2b2c2a3b3c3a4b4c4∣−∣a2b2c2a3b3c32a2b2c∣\det(A) = \begin{vmatrix} a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \\ a^4 & b^4 & c^4 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \\ 2a & 2b & 2c \end{vmatrix}

    প্রথম নির্ণায়কের ১ম, ২য় ও ৩য় কলাম থেকে যথাক্রমে a2,b2,c2a^2, b^2, c^2 সাধারণ উৎপাদক নিয়ে এবং দ্বিতীয় নির্ণায়কের ১ম, ২য় ও ৩য় কলাম থেকে যথাক্রমে a,b,ca, b, c ও ৩য় সারি থেকে 22 সাধারণ নিয়ে পাই:
    =a2b2c2∣111abca2b2c2∣−2abc∣abca2b2c2111∣= a^2 b^2 c^2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} - 2abc \begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}

    দ্বিতীয় নির্ণায়কে সারিসমূহ বিনিময় করে পাই (২য় ও ৩য় সারি, অতঃপর ১ম ও ২য় সারি):
    ∣abca2b2c2111∣=−∣abc111a2b2c2∣=∣111abca2b2c2∣\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}

    অতএব,
    det⁡(A)=a2b2c2∣111abca2b2c2∣−2abc∣111abca2b2c2∣\det(A) = a^2 b^2 c^2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} - 2abc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}
    =abc(abc−2)∣111abca2b2c2∣= abc(abc - 2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}

    এখন, C1′=C1−C2C_1' = C_1 - C_2 এবং C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3 করে পাই:
    ∣111abca2b2c2∣=∣001a−bb−cca2−b2b2−c2c2∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a - b & b - c & c \\ a^2 - b^2 & b^2 - c^2 & c^2 \end{vmatrix}
    =(a−b)(b−c)∣00111ca+bb+cc2∣= (a - b)(b - c) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & c \\ a + b & b + c & c^2 \end{vmatrix}
    =(a−b)(b−c)[1⋅(b+c−(a+b))]= (a - b)(b - c) [ 1 \cdot (b + c - (a + b)) ]
    =(a−b)(b−c)(c−a)= (a - b)(b - c)(c - a)

    সুতরাং,
    det⁡(A)=abc(abc−2)(a−b)(b−c)(c−a)\det(A) = abc(abc - 2)(a - b)(b - c)(c - a) (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন