উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,\n$P(A) = \frac{1}{3}$ এবং $P(B) = \frac{1}{6}$\n\nযেহেতু $A$ ও $B$ স্বাধীন ঘটনা,\nসুতরাং, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$\n\nশর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞানুযায়ী,\n$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$\n$= \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)}$\n$= P(A) = \frac{1}{3}$\n\nউত্তর: $\frac{1}{3}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি প্রস্তুত করে ভেদাঙ্ক নির্ণয় করা হলো:\n\nধরি, অনুমিত গড় $a = 45.5$ এবং শ্রেণি ব্যবধান $c = 10$।\nধাপ বিচ্যুতি, $u_i = \frac{x_i - a}{c} = \frac{x_i - 45.5}{10}$\n\n| শ্রেণিব্যাপ্তি | শ্রেণির মধ্যবিন্দু ($x_i$) | গণসংখ্যা ($f_i$) | ধাপ বিচ্যুতি ($u_i$) | $f_i u_i$ | $f_i u_i^2$ |\n| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |\n| ২১-৩০ | ২৫.৫ | ১০ | -২ | -২০ | ৪০ |\n| ৩১-৪০ | ৩৫.৫ | ১৫ | -১ | -১৫ | ১৫ |\n| ৪১-৫০ | ৪৫.৫ | ২০ | ০ | ০ | ০ |\n| ৫১-৬০ | ৫৫.৫ | ১৭ | ১ | ১৭ | ১৭ |\n| ৬১-৭০ | ৬৫.৫ | ৮ | ২ | ১৬ | ৩২ |\n| মোট | | $N = \sum f_i = ৭০$ | | $\sum f_i u_i = -২$ | $\sum f_i u_i^2 = ১০৪$ |\n\nআমরা জানি,\nভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = c^2 \left[ \frac{\sum f_i u_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i u_i}{N}\right)^2 \right]$\n\nমান বসিয়ে পাই,\n$\sigma^2 = 10^2 \left[ \frac{104}{70} - \left(\frac{-2}{70}\right)^2 \right]$\n$= 100 \left[ \frac{104}{70} - \frac{4}{4900} \right]$\n$= 100 \left[ \frac{7280 - 4}{4900} \right]$\n$= 100 \times \frac{7276}{4900}$\n$= \frac{7276}{49} \approx 148.49$\n\nউত্তর: ভেদাঙ্ক ১৪৮.৪৯ (প্রায়)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে,\nব্যাগে লাল বল = ৭টি\nকালো বল = ৫টি\nসাদা বল = ৪টি\nমোট বলের সংখ্যা = $৭ + ৫ + ৪ = ১৬$টি।\nলাল বল ব্যতীত অন্য রঙের বলের সংখ্যা = $৫ + ৪ = ৯$টি।\n\n১৬টি বল হতে দৈবভাবে ৩টি বল তোলার সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল:\n$n(S) = {}^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560$\n\nকমপক্ষে ২টি লাল বল হওয়ার শর্তানুসারে, ৩টি বলের মধ্যে ঠিক ২টি লাল অথবা ৩টিই লাল বল হতে পারে।\n\n১. ২টি লাল এবং ১টি অন্য রঙের বল তোলার উপায় = ${}^7C_2 \times {}^9C_1 = 21 \times 9 = 189$\n২. ৩টিই লাল বল তোলার উপায় = ${}^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$\n\nসুতরাং, কমপক্ষে ২টি লাল বল পাওয়ার অনুকূল ফলাফল:\n$n(A) = 189 + 35 = 224$\n\nঅতএব, কমপক্ষে ২টি লাল বল হওয়ার সম্ভাব্যতা:\n$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{224}{560} = \frac{2}{5} = 0.4$\n\nউত্তর: $\frac{2}{5}$ বা $0.4$