উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

Z1=1−ixZ_{1}=1-i x এবং Z2=a+ibZ_{2}=a+i b যেখানে, a,b∈Ra, b \in R.

  1. ক)

    x=3\mathrm{x}=\sqrt{3} হলে, z1\mathrm{z}_1 কে পোলার আকারে প্রকাশ কর।

    (2)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, x\mathrm{x} এর একটি বাস্তব z1z1‾=z2‾\frac{z_1}{\overline{z_1}}=\overline{z_2} সমীকরণকে সিদ্ধ করে যেখানে, a2+b2=1a^2+b^2=1.

    (4)
  3. গ)

    Z23=p+iq\sqrt[3]{Z_2}=p+i q হলে প্রমাণ করে যে, −2(p2+q2)=ap−bq-2\left(p^2+q^2\right)=\frac{a}{p}-\frac{b}{q}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, z1=1−ixz_1 = 1 - ix
    এখানে x=3x = \sqrt{3} হলে,
    z1=1−i3z_1 = 1 - i\sqrt{3}

    পোলার রূপ r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta + i\sin\theta):
    মডুলাস, r=∣z1∣=12+(−3)2=1+3=4=2r = |z_1| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
    যেহেতু জটিল সংখ্যাটি ৪র্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
    মুখ্য আর্গুমেন্ট, θ=−tan⁡−1∣−31∣=−tan⁡−1(3)=−π3\theta = -\tan^{-1}\left|\frac{-\sqrt{3}}{1}\right| = -\tan^{-1}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}

    অতএব, z1z_1-এর পোলার আকার:
    z1=2[cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3)]z_1 = 2\left[\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right] বা 2(cos⁡π3−isin⁡π3)2\left(\cos\frac{\pi}{3} - i\sin\frac{\pi}{3}\right)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, z1=1−ixz_1 = 1 - ix
    ∴z1‾=1+ix\therefore \overline{z_1} = 1 + ix
    এবং z2=a+ibz_2 = a + ib
    ∴z2‾=a−ib\therefore \overline{z_2} = a - ib

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    z1z1‾=z2‾\frac{z_1}{\overline{z_1}} = \overline{z_2}
    ⇒1−ix1+ix=a−ib\Rightarrow \frac{1 - ix}{1 + ix} = a - ib
    ⇒1−ix=(a−ib)(1+ix)\Rightarrow 1 - ix = (a - ib)(1 + ix)
    ⇒1−ix=a+iax−ib−i2bx\Rightarrow 1 - ix = a + iax - ib - i^2 bx
    ⇒1−ix=(a+bx)+i(ax−b)\Rightarrow 1 - ix = (a + bx) + i(ax - b)

    উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
    1=a+bx1 = a + bx ... (i)
    −x=ax−b⇒b=ax+x=x(a+1)⇒x=ba+1-x = ax - b \Rightarrow b = ax + x = x(a + 1) \Rightarrow x = \frac{b}{a + 1} ... (ii)

    সমীকরণ (ii) থেকে xx-এর মান (i)-এ বসিয়ে পাই:
    a+b(ba+1)=1a + b\left(\frac{b}{a + 1}\right) = 1
    ⇒a(a+1)+b2a+1=1\Rightarrow \frac{a(a + 1) + b^2}{a + 1} = 1
    ⇒a2+a+b2=a+1\Rightarrow a^2 + a + b^2 = a + 1
    ⇒a2+b2=1\Rightarrow a^2 + b^2 = 1, যা প্রশ্নে প্রদত্ত শর্ত।

    যেহেতু a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} এবং a≠−1a \neq -1 হলে x=ba+1x = \frac{b}{a+1} একটি বাস্তব সংখ্যা (এবং a=−1a = -1 হলে b=0b = 0, ফলে 1=−1+01 = -1 + 0, যা কোনো নতুন শর্ত দেয় না),
    সুতরাং, a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 হলে x=ba+1x = \frac{b}{a+1} বাস্তব, যা সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, Z23=p+iq\sqrt[3]{Z_2} = p + iq
    উভয়পক্ষকে ঘন করে পাই,
    Z2=(p+iq)3Z_2 = (p + iq)^3
    ⇒a+ib=p3+3p2(iq)+3p(iq)2+(iq)3\Rightarrow a + ib = p^3 + 3p^2(iq) + 3p(iq)^2 + (iq)^3
    ⇒a+ib=p3+3ip2q−3pq2−iq3\Rightarrow a + ib = p^3 + 3ip^2q - 3pq^2 - iq^3
    ⇒a+ib=(p3−3pq2)+i(3p2q−q3)\Rightarrow a + ib = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)

    উভয়পক্ষ থেকে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
    a=p3−3pq2=p(p2−3q2)a = p^3 - 3pq^2 = p(p^2 - 3q^2)
    ⇒ap=p2−3q2\Rightarrow \frac{a}{p} = p^2 - 3q^2 ... (i)

    এবং
    b=3p2q−q3=q(3p2−q2)b = 3p^2q - q^3 = q(3p^2 - q^2)
    ⇒bq=3p2−q2\Rightarrow \frac{b}{q} = 3p^2 - q^2 ... (ii)

    এখন, (i) নং হতে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
    ap−bq=(p2−3q2)−(3p2−q2)\frac{a}{p} - \frac{b}{q} = (p^2 - 3q^2) - (3p^2 - q^2)
    ⇒ap−bq=p2−3q2−3p2+q2\Rightarrow \frac{a}{p} - \frac{b}{q} = p^2 - 3q^2 - 3p^2 + q^2
    ⇒ap−bq=−2p2−2q2\Rightarrow \frac{a}{p} - \frac{b}{q} = -2p^2 - 2q^2
    ⇒ap−bq=−2(p2+q2)\Rightarrow \frac{a}{p} - \frac{b}{q} = -2(p^2 + q^2)
    ∴−2(p2+q2)=ap−bq\therefore -2(p^2 + q^2) = \frac{a}{p} - \frac{b}{q} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন