উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, tan⁡−129+tan⁡−114=12sin⁡−145\tan^{-1} \frac{2}{9} + \tan^{-1} \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{4}{5}.

    (2)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, sin⁡−1(2f(π2−θ))+sin⁡−1(2f(2θ))=π2\sin^{-1}\left(\sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right) + \sin^{-1}\left(\sqrt{2}f(2\theta)\right) = \frac{\pi}{2}

    (4)
  3. গ)

    সমাধান কর: 2f(α)−2f(π2−α)=1\sqrt{2}f(\alpha)-\sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=1 যখন −π<α<π-\pi < \alpha < \pi.

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: 'খ' অংশে প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ভুলের কারণে 2f(2θ)\sqrt{2}f(2\theta) এসেছে; উচ্চমাধ্যমিকের প্রমিত পাঠ্যবই অনুযায়ী রাশিটি f(2θ)\sqrt{f(2\theta)} অর্থাৎ cos⁡2θ\sqrt{\cos 2\theta} হবে।

    বামপক্ষ =tan⁡−1(29)+tan⁡−1(14)= \tan^{-1}\left(\frac{2}{9}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)
    =tan⁡−1(29+141−29⋅14)= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{9} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{4}}\right)
    =tan⁡−1(8+93636−236)= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{8 + 9}{36}}{\frac{36 - 2}{36}}\right)
    =tan⁡−1(1734)=tan⁡−1(12)= \tan^{-1}\left(\frac{17}{34}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)
    =12(2tan⁡−112)= \frac{1}{2} \left(2\tan^{-1}\frac{1}{2}\right)
    =12sin⁡−1(2⋅121+(12)2)= \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}\right)
    =12sin⁡−1(11+14)= \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{1}{1 + \frac{1}{4}}\right)
    =12sin⁡−1(154)=12sin⁡−1(45)== \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{1}{\frac{5}{4}}\right) = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

  2. খ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: 'খ' অংশে প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ভুলের কারণে 2f(2θ)\sqrt{2}f(2\theta) এসেছে; উচ্চমাধ্যমিকের প্রমিত পাঠ্যবই অনুযায়ী রাশিটি f(2θ)\sqrt{f(2\theta)} অর্থাৎ cos⁡2θ\sqrt{\cos 2\theta} হবে।

    [দ্রষ্টব্য: মূল প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ত্রুটির কারণে 2f(2θ)\sqrt{2}f(2\theta) লেখা হয়েছে। পাঠ্যবইয়ের প্রমাণযোগ্য অভেদ অনুসারে দ্বিতীয় পদটি f(2θ)\sqrt{f(2\theta)} বা cos⁡2θ\sqrt{\cos 2\theta} ধরে সমাধান করা হলো।]

    দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x
    সুতরাং, f(π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡θf\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta
    এবং f(2θ)=cos⁡2θf(2\theta) = \cos 2\theta

    ধরি, A=sin⁡−1(2f(π2−θ))=sin⁡−1(2sin⁡θ)A = \sin^{-1}\left(\sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right) = \sin^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta)
    ⇒sin⁡A=2sin⁡θ\Rightarrow \sin A = \sqrt{2}\sin\theta

    আমরা জানি, cos⁡A=1−sin⁡2A\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}
    ⇒cos⁡A=1−(2sin⁡θ)2=1−2sin⁡2θ=cos⁡2θ=f(2θ)\Rightarrow \cos A = \sqrt{1 - (\sqrt{2}\sin\theta)^2} = \sqrt{1 - 2\sin^2\theta} = \sqrt{\cos 2\theta} = \sqrt{f(2\theta)}
    ⇒A=cos⁡−1(f(2θ))\Rightarrow A = \cos^{-1}\left(\sqrt{f(2\theta)}\right)

    আবার, sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} সূত্রানুযায়ী,
    cos⁡−1(f(2θ))=π2−sin⁡−1(f(2θ))\cos^{-1}\left(\sqrt{f(2\theta)}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\sqrt{f(2\theta)}\right)

    সুতরাং,
    sin⁡−1(2sin⁡θ)=π2−sin⁡−1(f(2θ))\sin^{-1}(\sqrt{2}\sin\theta) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\sqrt{f(2\theta)}\right)
    ⇒sin⁡−1(2f(π2−θ))+sin⁡−1(f(2θ))=π2\Rightarrow \sin^{-1}\left(\sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right) + \sin^{-1}\left(\sqrt{f(2\theta)}\right) = \frac{\pi}{2} (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

    স্পষ্ট অনুমান: 'খ' অংশে প্রশ্নে মুদ্রণজনিত ভুলের কারণে 2f(2θ)\sqrt{2}f(2\theta) এসেছে; উচ্চমাধ্যমিকের প্রমিত পাঠ্যবই অনুযায়ী রাশিটি f(2θ)\sqrt{f(2\theta)} অর্থাৎ cos⁡2θ\sqrt{\cos 2\theta} হবে।

    দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x
    সুতরাং, f(α)=cos⁡αf(\alpha) = \cos\alpha এবং f(π2−α)=cos⁡(π2−α)=sin⁡αf\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    2f(α)−2f(π2−α)=1\sqrt{2}f(\alpha) - \sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = 1
    ⇒2cos⁡α−2sin⁡α=1\Rightarrow \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = 1
    ⇒cos⁡α−sin⁡α=12\Rightarrow \cos\alpha - \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}

    উভয়পক্ষকে 12\frac{1}{\sqrt{2}} দ্বারা গুণ করে পাই,
    12cos⁡α−12sin⁡α=12\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\alpha = \frac{1}{2}
    ⇒cos⁡αcos⁡π4−sin⁡αsin⁡π4=12\Rightarrow \cos\alpha \cos\frac{\pi}{4} - \sin\alpha \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}
    ⇒cos⁡(α+π4)=cos⁡π3\Rightarrow \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{3}

    অতএব,
    α+π4=2nπ±π3\alpha + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}
    ⇒α=2nπ±π3−π4\Rightarrow \alpha = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}

    যেহেতু শর্ত −π<α<π-\pi < \alpha < \pi:
    (i) n=0n = 0 হলে:
    α=π3−π4=π12\alpha = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}
    অথবা,
    α=−π3−π4=−7π12\alpha = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = -\frac{7\pi}{12}

    (ii) n=1n = 1 বা n=−1n = -1 হলে প্রাপ্ত মানসমূহ −π<α<π-\pi < \alpha < \pi ব্যবধির বাইরে চলে যায়।

    সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: α=π12,−7π12\alpha = \frac{\pi}{12}, -\frac{7\pi}{12}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন