উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $r = 4\sin\theta$
   উভয়পক্ষকে $r$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $r^2 = 4r\sin\theta$
   আমরা জানি, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ এবং $x^2 + y^2 = r^2$।
   $\therefore x^2 + y^2 = 4y$
   $\implies x^2 + y^2 - 4y = 0$
   $\implies x^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

   অতএব, বৃত্তটির কেন্দ্রের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(0, 2)$।
   (পোলার স্থানাঙ্কে কেন্দ্র: $(2, \frac{\pi}{2})$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 - 4x + 8y - 16 = 0$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $C = \left(-\frac{-4}{2}, -\frac{8}{2}\right) = (2, -4)$
   এবং ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{2^2 + (-4)^2 - (-16)} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$

   প্রদত্ত জ্যা-এর সমীকরণ:
   $4x + 3y + 26 = 0$

   উক্ত জ্যা-এর উপর লম্ব যে-কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   $3x - 4y + k = 0 \quad \text{--- (i)}$

   যেহেতু রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক, তাই কেন্দ্র $(2, -4)$ হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।
   $\therefore \frac{|3(2) - 4(-4) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 6$
   $\implies \frac{|6 + 16 + k|}{\sqrt{9 + 16}} = 6$
   $\implies \frac{|22 + k|}{5} = 6$
   $\implies |22 + k| = 30$
   $\implies 22 + k = \pm 30$

   (+) চিহ্ন নিয়ে পাই, $k = 30 - 22 = 8$
   (-) চিহ্ন নিয়ে পাই, $k = -30 - 22 = -52$

   $k$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ পাই:
   $3x - 4y + 8 = 0$
   এবং
   $3x - 4y - 52 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে, বৃত্তের কেন্দ্র $(1, 2)$।
   যেহেতু বৃত্তটি $x$-অক্ষকে স্পর্শ করে, সুতরাং বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হবে কেন্দ্রের কোটি-র পরম মানের সমান।
   $\therefore \text{ব্যাসার্ধ, } r = |2| = 2$

   অতএব, বৃত্তটির সমীকরণ:
   $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$
   $\implies x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 4$
   $\implies x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$

   বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই:
   $2g = -2 \implies g = -1$
   $2f = -4 \implies f = -2$
   $c = 1$

   বৃত্তটি দ্বারা $y$-অক্ষের খণ্ডিত অংশের পরিমাণ:
   $= 2\sqrt{f^2 - c}$
   $= 2\sqrt{(-2)^2 - 1}$
   $= 2\sqrt{4 - 1}$
   $= 2\sqrt{3} \text{ একক।}$