উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।
   পরাবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e = 1$।

   প্রদত্ত সেট, $E = \{0, 1, 2\}$।
   এখানে মোট উপাদানের সংখ্যা, $n(S) = 3$।
   উত্তোলিত সংখ্যাটি দৃশ্যকল্প-২ এর উৎকেন্দ্রিকতা (অর্থাৎ $1$) হওয়ার অনুকূল উপাদান সংখ্যা, $n(A) = 1$।

   অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{3}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত কণিকটি একটি উপবৃত্ত, যার কেন্দ্র মূলবিন্দু $O(0, 0)$ তে অবস্থিত।
   চিত্রানুযায়ী,
   শীর্ষবিন্দু $A\left(\frac{2}{\sqrt{3}}, 0\right)$, সুতরাং বৃহৎ অক্ষের অর্ধেকাংশ, $a = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
   উপকেন্দ্র $S(1, 0)$, সুতরাং $ae = 1$।

   তাহলে, উৎকেন্দ্রিকতা $e = \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

   আমরা জানি, $b^2 = a^2(1 - e^2)$
   $\Rightarrow b^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)$
   $\Rightarrow b^2 = \frac{4}{3} \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{4}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$।

   অতএব, উপবৃত্তটির সমীকরণ:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
   $\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{4}{3}} + \frac{y^2}{\frac{1}{3}} = 1$
   $\Rightarrow \frac{3x^2}{4} + 3y^2 = 1$
   $\Rightarrow 3x^2 + 12y^2 = 4$ (বা, $3x^2 + 12y^2 - 4 = 0$)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত কণিকটি একটি পরাবৃত্ত।
   চিত্রানুযায়ী,
   পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $A(2, 0)$ এবং নিয়ামকরেখা ও অক্ষের ছেদবিন্দু $Z(-1, 0)$।
   পরাবৃত্তের অক্ষটি $x$-অক্ষ বরাবর (বা $y = 0$)।

   শীর্ষ ও নিয়ামকের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $a = AZ = 2 - (-1) = 3$।
   পরাবৃত্তটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকে উন্মুক্ত।
   অতএব, পরাবৃত্তটির প্রমিত রূপ:
   $(y - k)^2 = 4a(x - h)$

   এখানে শীর্ষ $(h, k) = (2, 0)$ এবং $a = 3$।
   সুতরাং, পরাবৃত্তটির সমীকরণ:
   $(y - 0)^2 = 4 \times 3(x - 2)$
   $\Rightarrow y^2 = 12(x - 2)$
   $\Rightarrow y^2 = 12x - 24$
   $\Rightarrow y^2 - 12x + 24 = 0$।