উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আদিবেগ u = 0, ত্বরণ g = 9.8 ms⁻², সময় t = 2 s।
   আমরা জানি, v = u + gt
   ⇒ v = 0 + (9.8 × 2) = 19.6 ms⁻¹।
   অতএব, 2 সেকেন্ডে প্রাপ্ত বেগ 19.6 ms⁻¹।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বিড়ালটি t সেকেন্ড পর এবং আদি অবস্থান থেকে x মিটার দূরত্বে ইঁদুরটিকে ধরতে পারবে।
   ইঁদুরটি বিড়াল থেকে 12 মিটার সামনে ছিল।
   সুতরাং, t সেকেন্ডে ইঁদুরের অতিক্রান্ত দূরত্ব, s_r = 4t।
   বিড়ালের অতিক্রান্ত দূরত্ব, s_c = 12 + s_r = 12 + 4t।
   আবার বিড়ালের ত্বরণ a = 2 ms⁻² এবং আদিবেগ u = 0 হওয়ায়,
   s_c = ut + ½ at²
   ⇒ 12 + 4t = 0 + ½ × 2 × t²
   ⇒ t² = 12 + 4t
   ⇒ t² - 4t - 12 = 0
   ⇒ (t - 6)(t + 2) = 0
   যেহেতু সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই t = 6 সেকেন্ড।

   বিড়ালের অতিক্রান্ত দূরত্ব = ½ × 2 × (6)² = 36 মিটার।
   অতএব, বিড়ালটি 6 সেকেন্ড পরে এবং নিজের আদি অবস্থান থেকে 36 মিটার দূরে ইঁদুরটিকে ধরতে পারবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে, একই আদিবেগ u নিয়ে একই অনুভূমিক পাল্লা R এর জন্য দুটি প্রক্ষেপ কোণ α এবং (90° - α) বিবেচনা করা হয়।
   ক্ষেত্র দুটির বৃহত্তম উচ্চতা যথাক্রমে:
   H₁ = (u² sin²α) / (2g) = 4
   H₂ = (u² sin²(90° - α)) / (2g) = (u² cos²α) / (2g) = 6

   আমরা জানি, অনুভূমিক পাল্লা:
   R = (u² sin 2α) / g = (2u² sin α cos α) / g

   এখন, H₁ ও H₂ গুণ করে পাই:
   H₁ · H₂ = [(u² sin²α) / (2g)] · [(u² cos²α) / (2g)]
   ⇒ 4 × 6 = (u⁴ sin²α cos²α) / (4g²)
   ⇒ 24 = (1/16) · [(2u² sin α cos α) / g]²
   ⇒ 24 = (1/16) · R²
   ⇒ R² = 16 × 24 = 384
   ⇒ R = √384 = √(64 × 6) = 8√6 মিটার।
   অতএব, R = 8√6 (দেখানো হলো)।