গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$a \cos x + b \sin x = c$

আমরা জানি, $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ এবং $\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$

সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,
$a\left(\frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}\right) + b\left(\frac{2\tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}\right) = c$
$\implies a(1 - \tan^2(x/2)) + 2b\tan(x/2) = c(1 + \tan^2(x/2))$
$\implies (c + a)\tan^2(x/2) - 2b\tan(x/2) + (c - a) = 0$

যেহেতু মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$, তাই উক্ত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় হবে $\tan(\alpha/2)$ এবং $\tan(\beta/2)$।

সুতরাং,
$\tan(\alpha/2) + \tan(\beta/2) = \frac{2b}{c + a}$
$\tan(\alpha/2) \cdot \tan(\beta/2) = \frac{c - a}{c + a}$

অতএব,
$\tan\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) = \frac{\tan(\alpha/2) + \tan(\beta/2)}{1 - \tan(\alpha/2)\tan(\beta/2)} = \frac{\frac{2b}{c+a}}{1 - \frac{c-a}{c+a}} = \frac{2b}{c+a - (c-a)} = \frac{2b}{2a} = \frac{b}{a}$

এখন,
$\cos(\alpha + \beta) = \frac{1 - \tan^2\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)} = \frac{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2} = \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$

(দেখানো হলো)