উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, বেগত্রয় যথাক্রমে $v_1 = 2\text{ m/s}$, $v_2 = 3\text{ m/s}$ এবং $v_3 = 2\sqrt{5}\text{ m/s}$।
   যেহেতু বেগত্রয় সাম্যাবস্থা রক্ষা করে, তাই ক্ষুদ্রতম বেগদ্বয়ের লব্ধির মান তৃতীয় বেগের মানের সমান এবং দিক বিপরীতমুখী হবে।
   ক্ষুদ্রতম বেগদ্বয় $v_1$ ও $v_2$-এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে,
   $v_3^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2 \cos\theta$
   বা, $(2\sqrt{5})^2 = 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cos\theta$
   বা, $20 = 4 + 9 + 12\cos\theta$
   বা, $20 = 13 + 12\cos\theta$
   বা, $12\cos\theta = 7$
   বা, $\cos\theta = \frac{7}{12}$
   $\therefore \theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{12}\right) \approx 54.31^{\circ}$
   অতএব, ক্ষুদ্রতম বেগ দুইটির অন্তর্গত কোণ $\cos^{-1}\left(\frac{7}{12}\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্রানুসারে, $O$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বেগ দুটি $u$ এবং $3v$। তাদের মধ্যবর্তী কোণ $3\alpha$ এবং লব্ধি বেগ $w$।

   $u$ এর দিক বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই,
   $w \cos(\text{লব্ধির কোণ}) = u \cos 0^\circ + 3v \cos 3\alpha$
   প্রশ্নমতে, $u$ এর দিক বরাবর $w$ এর লম্বাংশ $= 3v$
   বা, $u + 3v \cos 3\alpha = 3v$
   বা, $3v \cos 3\alpha = 3v - u$
   বা, $\cos 3\alpha = 1 - \frac{u}{3v}$
   বা, $1 - 2\sin^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right) = 1 - \frac{u}{3v}$
   বা, $2\sin^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right) = \frac{u}{3v}$
   বা, $\sin^2\left(\frac{3\alpha}{2}\right) = \frac{u}{6v}$
   বা, $\sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) = \sqrt{\frac{u}{6v}}$
   বা, $\frac{3\alpha}{2} = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{u}{6v}}\right)$
   $\therefore \alpha = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{u}{6v}}\right)$ (দেখানো হলো)

   আবার, লব্ধি $w$-এর জন্য সামান্তরিক সূত্রানুসারে,
   $w^2 = u^2 + (3v)^2 + 2 \cdot u \cdot 3v \cos 3\alpha$
   বা, $w^2 = u^2 + 9v^2 + 6uv \left(1 - \frac{u}{3v}\right)$
   বা, $w^2 = u^2 + 9v^2 + 6uv - 2u^2$
   বা, $w^2 = 9v^2 - u^2 + 6uv$
   $\therefore w = \sqrt{9v^2 - u^2 + 6uv}$ (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, রেলগাড়ির সর্বোচ্চ বেগ $v_{\max}$।
   মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s = 12\text{ km} = 12000\text{ m}$
   মোট সময়, $t = 10\text{ min} = 10 \times 60 = 600\text{ s}$

   গাড়িটি স্থির অবস্থা ($u=0$) থেকে যাত্রা শুরু করে সমত্বরণে চলে সর্বোচ্চ বেগ $v_{\max}$ লাভ করে এবং পরবর্তীতে সমমন্দনে চলে আবার স্থির হয় ($v=0$)।

   গতিপথের বেগ-সময় লেখচিত্র ত্রিভুজাকার, যার ক্ষেত্রফল মোট দূরত্বের সমান।
   $\therefore s = \frac{1}{2} \times t \times v_{\max}$
   বা, $12000 = \frac{1}{2} \times 600 \times v_{\max}$
   বা, $300 \cdot v_{\max} = 12000$
   $\therefore v_{\max} = 40\text{ m/s}$
   সুতরাং, সর্বোচ্চ বেগ $40\text{ m/s}$ (বা $144\text{ km/h}$)।

   প্রশ্নমতে, গাড়িটি মোট দূরত্বের প্রথম দুই-তৃতীয়াংশ সমত্বরণে চলে।
   সমত্বরণে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_1 = \frac{2}{3} \times 12000 = 8000\text{ m}$
   সমমন্দনে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $s_2 = 12000 - 8000 = 4000\text{ m}$

   সমত্বরণ $f$ হলে,
   $v_{\max}^2 = 0^2 + 2 f s_1$
   বা, $40^2 = 2 \times f \times 8000$
   বা, $1600 = 16000 f$
   $\therefore f = \frac{1600}{16000} = 0.1\text{ m/s}^2$

   সমমন্দন $f'$ হলে,
   $0^2 = v_{\max}^2 - 2 f' s_2$
   বা, $2 f' \times 4000 = 40^2$
   বা, $8000 f' = 1600$
   $\therefore f' = \frac{1600}{8000} = 0.2\text{ m/s}^2$

   অতএব, সর্বোচ্চ বেগ $40\text{ m/s}$, সমত্বরণ $0.1\text{ m/s}^2$ এবং সমমন্দন $0.2\text{ m/s}^2$।