উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\left(\cos\frac{\pi}{2} - \cos 0\right) = -(0 - 1) = 1$

   নির্ণেয় মান: $1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত,
   $f(x) = \frac{1}{1 + \sin x - \cos x}$

   আমরা জানি,
   $1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ এবং $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$

   অতএব,
   $1 + \sin x - \cos x = (1 - \cos x) + \sin x = 2\sin^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$
   $= 2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)$

   সুতরাং,
   $I = \int f(x) \, dx = \int \frac{dx}{2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)}$

   লব ও হরকে $\cos^2\frac{x}{2}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $I = \int \frac{\frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2}\left(\tan\frac{x}{2} + 1\right)} \, dx$

   ধরি, $t = \tan\frac{x}{2}$
   তাহলে, $dt = \frac{1}{2}\sec^2\frac{x}{2} \, dx$

   সুতরাং,
   $I = \int \frac{dt}{t(t + 1)} = \int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}\right) dt$
   $= \ln|t| - \ln|t + 1| + c = \ln\left|\frac{t}{t+1}\right| + c$
   $= \ln\left|\frac{\tan\frac{x}{2}}{\tan\frac{x}{2} + 1}\right| + c$
   (যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে,
   $g(x) = \frac{2 + x}{1 + x^2}$

   সীমা $0$ থেকে $1$ এর মধ্যে সমাকলনটি হলো:
   $I = \int_{0}^{1} g(x) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{2 + x}{1 + x^2} \, dx$
   $= 2\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + x^2} \, dx$
   $= 2\left[\tan^{-1} x\right]_{0}^{1} + \frac{1}{2}\left[\ln(1 + x^2)\right]_{0}^{1}$
   $= 2\left(\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0)\right) + \frac{1}{2}(\ln(1 + 1^2) - \ln(1 + 0))$
   $= 2\left(\frac{\pi}{4} - 0\right) + \frac{1}{2}(\ln 2 - \ln 1)$
   $= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\ln 2$

   নির্ণেয় মান: $\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\ln 2$ বা $\frac{\pi + \ln 2}{2}$।