| প্রশ্ন | উৎসাহ

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২২

ক)
প্রমাণ কর যে, 12−2+2cos⁡6x=12cosec⁡3x2 \frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{2+2 \cos 6 x}}}=\frac{1}{2} \operatorname{cosec} \frac{3 x}{2}
(2)
খ)
প্রমান কর যে, sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ+2sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=1 \sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma+2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma=1
(4)
গ)
প্রমাণ কর যে, (c-b) sec⁡(A2+B)=asec⁡A2 \sec \left(\frac{A}{2}+B\right)=a \sec \frac{A}{2}
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

বামপক্ষ
= 1 / √(2 - √(2 + 2 cos 6x))
= 1 / √(2 - √(2(1 + cos 6x)))
= 1 / √(2 - √(2 · 2 cos² 3x))
= 1 / √(2 - √(4 cos² 3x))
= 1 / √(2 - 2 cos 3x)
= 1 / √(2(1 - cos 3x))
= 1 / √(2 · 2 sin²(3x/2))
= 1 / √(4 sin²(3x/2))
= 1 / (2 sin(3x/2))
= 1/2 cosec(3x/2)
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

উদ্দীপকের ত্রিভুজ ABC হতে,
কোণ A = 2α, B = 2β, C = 2γ
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = π
∴ 2α + 2β + 2γ = π
বা, α + β + γ = π/2
বা, α + β = π/2 - γ

বামপক্ষ = sin²α + sin²β + sin²γ + 2 sin α sin β sin γ
= 1/2 (2 sin²α + 2 sin²β) + sin²γ + 2 sin α sin β sin γ
= 1/2 [(1 - cos 2α) + (1 - cos 2β)] + sin²γ + 2 sin α sin β sin γ
= 1/2 [2 - (cos 2α + cos 2β)] + sin²γ + 2 sin α sin β sin γ
= 1 - 1/2 [2 cos(α + β) cos(α - β)] + sin²γ + 2 sin α sin β sin γ
= 1 - cos(α + β) cos(α - β) + sin²γ + 2 sin α sin β sin γ

যেহেতু α + β = π/2 - γ, তাই cos(α + β) = cos(π/2 - γ) = sin γ।

= 1 - sin γ cos(α - β) + sin²γ + 2 sin α sin β sin γ
= 1 - sin γ [cos(α - β) - sin γ] + 2 sin α sin β sin γ
= 1 - sin γ [cos(α - β) - cos(α + β)] + 2 sin α sin β sin γ
= 1 - sin γ [2 sin α sin β] + 2 sin α sin β sin γ
= 1 - 2 sin α sin β sin γ + 2 sin α sin β sin γ
= 1
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

বামপক্ষ = (c - b) sec(A/2 + B)
= (c - b) / cos(A/2 + B)

সাইন সূত্রানুসারে, a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
∴ b = 2R sin B এবং c = 2R sin C

অতএব,
c - b = 2R (sin C - sin B)
= 2R · 2 cos((C + B)/2) sin((C - B)/2)

যেহেতু A + B + C = π, তাই B + C = π - A
∴ (B + C)/2 = π/2 - A/2
সুতরাং, cos((C + B)/2) = cos(π/2 - A/2) = sin(A/2)

∴ c - b = 4R sin(A/2) sin((C - B)/2)

এখন হর:
cos(A/2 + B) = cos((π - B - C)/2 + B) [∵ A = π - (B + C)]
= cos(π/2 - (B + C)/2 + B)
= cos(π/2 + (B - C)/2)
= -sin((B - C)/2)
= sin((C - B)/2)

অতএব,
(c - b) / cos(A/2 + B) = [4R sin(A/2) sin((C - B)/2)] / sin((C - B)/2)
= 4R sin(A/2)
= 2 · 2R sin(A/2)
= 2 · (a / sin A) · sin(A/2) [∵ 2R = a / sin A]
= 2a sin(A/2) / [2 sin(A/2) cos(A/2)]
= a / cos(A/2)
= a sec(A/2)
= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন