পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারিতে যে মানটি সর্বাধিক বার বিদ্যমান থাকে, তাকে প্রচুরক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   হ্যাঁ, মধ্যমার মান ঋণাত্মক হতে পারে। তথ্যসারির উপাত্তগুলোর অধিকাংশ বা সবগুলো যদি ঋণাত্মক মানবিশিষ্ট হয়, তবে সেগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে ঠিক মাঝামাঝি অবস্থিত মানটিও ঋণাত্মক হতে পারে। মধ্যমা যেহেতু কেবল অবস্থানের ভিত্তিতে নির্ধারিত হয়, তাই উপাত্ত ঋণাত্মক হলে মধ্যমাও ঋণাত্মক হতে পারে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত উৎপাদনের পরিমাণসমূহ:
   3010, 3030, 3050, 3070, 3090, 3110
   এখানে মোট পর্যবেক্ষণ সংখ্যা, n = 6।
   মানগুলো ইতোমধ্যে মানের ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো রয়েছে।

   ৩য় চতুর্থক (Q3) এর অবস্থান:
   Q3 = 3(n + 1)/4 তম পদের মান
   = 3(6 + 1)/4 তম পদের মান
   = (3 × 7)/4 = 21/4 = 5.25 তম পদের মান

   অতএব,
   Q3 = 5ম পদের মান + 0.25 × (6ষ্ঠ পদের মান - 5ম পদের মান)
   = 3090 + 0.25 × (3110 - 3090)
   = 3090 + 0.25 × 20
   = 3090 + 5
   = 3095

   [বিকল্পভাবে, অবিচ্ছিন্ন চলকের সূত্রাবলি বা সরাসরি অবস্থানের ভিত্তিতে Q3 এর অবস্থান 3n/4 = 4.5 তম পদ ধরা হলে: (4র্থ পদ + 5ম পদ)/2 = (3070 + 3090)/2 = 3080। সাধারণ পাঠ্যবইয়ের সূত্র অনুযায়ী Q3 = 3095।]

   সুতরাং, ৩য় চতুর্থকের মান 3095 (বা 3080)।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের তথ্য: x = 3010, 3030, 3050, 3070, 3090, 3110; যেখানে n = 6।

   মূল তথ্যের গাণিতিক গড় (x̄):
   ∑x = 3010 + 3030 + 3050 + 3070 + 3090 + 3110 = 18360
   সুতরাং, x̄ = ∑x / n = 18360 / 6 = 3060।

   মূল ও মাপনি পরিবর্তন:
   মনে করি, মূল a = 3050 এবং মাপনি c = 20।
   নতুন চলক, $u_i = (x_i - a) / c = (x_i - 3050) / 20$

   u এর মানগুলো হলো:
   $u_1 = (3010 - 3050)/20 = -2$
   $u_2 = (3030 - 3050)/20 = -1$
   $u_3 = (3050 - 3050)/20 = 0$
   $u_4 = (3070 - 3050)/20 = 1$
   $u_5 = (3090 - 3050)/20 = 2$
   $u_6 = (3110 - 3050)/20 = 3$

   নতুন চলকের গড় (ū):
   ∑u = (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3
   ū = ∑u / n = 3 / 6 = 0.5

   আমরা জানি, মূল ও মাপনি পরিবর্তনের সম্পর্ক অনুসারে:
   x̄ = a + c × ū
   ডানপক্ষ = 3050 + (20 × 0.5) = 3050 + 10 = 3060 = x̄।

   দেখা যাচ্ছে যে, পরিবর্তিত চলকের গড় ū এর সাথে মাপনি গুণ করে এবং মূল যোগ করে মূল চলকের গড় x̄ পাওয়া যায়।
   অতএব প্রমাণিত হলো যে, গাণিতিক গড় মূল ও মাপনি উভয়ের পরিবর্তনের উপর নির্ভরশীল।