উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=3x3−2x2+x−4.f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 4.
দৃশ্যকল্প-২: g(x)=x4+3x3+x2+13x+30g(x) = x^4 + 3x^3 + x^2 + 13x + 30

  1. ক)

    কোন শর্তে 2x2−2(a+b)x+a2+b2=02x^2 - 2(a + b)x + a^2 + b^2 = 0 সমীকরণের মূলগুলো বাস্তব হবে?

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ f(x)=0f(x) = 0 সমীকরণের মূলত্রয় a, b, c হলে, ∑1a2b\sum \frac{1}{a^2b} এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এ g(x)=0g(x) = 0 সমীকরণের একটি মূল 1−2i1 - 2i হলে সমীকরণটির সমাধান কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 2x² - 2(a + b)x + a² + b² = 0
    সমীকরণটির নিশ্চয়ক (Discriminant), D = B² - 4AC
    = [-2(a + b)]² - 4(2)(a² + b²)
    = 4(a² + 2ab + b²) - 8(a² + b²)
    = 4a² + 8ab + 4b² - 8a² - 8b²
    = -4a² + 8ab - 4b²
    = -4(a² - 2ab + b²)
    = -4(a - b)²

    সমীকরণটির মূলগুলো বাস্তব হতে হলে নিশ্চয়ক D ≥ 0 হতে হবে।
    সুতরাং, -4(a - b)² ≥ 0
    যেহেতু যেকোনো বাস্তব মানের জন্য (a - b)² ≥ 0, তাই -4(a - b)² ≤ 0।
    ফলে -4(a - b)² ≥ 0 কেবল তখনই সম্ভব যদি,
    -4(a - b)² = 0
    বা, (a - b)² = 0
    বা, a - b = 0
    বা, a = b হয়।

    অতএব, নির্ণেয় শর্ত হলো: a = b।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: f(x) = 3x³ - 2x² + x - 4 = 0
    সমীকরণটির মূলত্রয় a, b, c হলে,
    মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই:
    a + b + c = -(-2)/3 = 2/3
    ab + bc + ca = 1/3
    abc = -(-4)/3 = 4/3

    এখন,
    ∑ (1 / (a²b)) = 1/(a²b) + 1/(ab²) + 1/(b²c) + 1/(bc²) + 1/(c²a) + 1/(ca²)
    = (a + b)/(a²b²) + (b + c)/(b²c²) + (c + a)/(c²a²)
    = [(a + b)c² + (b + c)a² + (c + a)b²] / (a²b²c²)
    = [ac² + bc² + ba² + ca² + cb² + ab²] / (abc)²

    আমরা জানি,
    (a + b + c)(ab + bc + ca) = (ac² + bc² + ba² + ca² + cb² + ab²) + 3abc
    ⇒ ac² + bc² + ba² + ca² + cb² + ab² = (a + b + c)(ab + bc + ca) - 3abc

    মান বসিয়ে পাই:
    লব = (2/3)(1/3) - 3(4/3) = 2/9 - 4 = -34/9
    হর = (abc)² = (4/3)² = 16/9

    অতএব,
    ∑ (1 / (a²b)) = (-34/9) / (16/9) = -34/16 = -17/8

    উত্তর: -17/8

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: g(x) = x⁴ + 3x³ + x² + 13x + 30 = 0
    যেহেতু সমীকরণটির সহগগুলো বাস্তব সংখ্যা, তাই জটিল মূলগুলো অনুবন্ধী যুগল হিসেবে থাকে।
    যেহেতু একটি মূল 1 - 2i, সুতরাং অপর একটি মূল হবে 1 + 2i।

    এই মূলদ্বয় বিশিষ্ট দ্বিঘাত উৎপাদকটি হলো:
    [x - (1 - 2i)][x - (1 + 2i)] = (x - 1 + 2i)(x - 1 - 2i)
    = (x - 1)² - (2i)²
    = x² - 2x + 1 - 4(-1)
    = x² - 2x + 5

    এখন, g(x) কে (x² - 2x + 5) দ্বারা ভাগ করি:
    x⁴ + 3x³ + x² + 13x + 30
    = x²(x² - 2x + 5) + 5x(x² - 2x + 5) + 6(x² - 2x + 5)
    = (x² - 2x + 5)(x² + 5x + 6)
    = (x² - 2x + 5)(x + 2)(x + 3)

    অতএব, g(x) = 0 হলে,
    (x² - 2x + 5)(x + 2)(x + 3) = 0
    হয় x² - 2x + 5 = 0 ⇒ x = 1 ± 2i
    অথবা x + 2 = 0 ⇒ x = -2
    অথবা x + 3 = 0 ⇒ x = -3

    অতএব, সমীকরণটির সমাধান: x = -2, -3, 1 ± 2i।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন