উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, কোনো বিন্দুতে $\alpha$ কোণে ক্রিয়ারত $P$ ও $P$ মানের দুটি সমান বলের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ এবং এদের একটির সাথে লব্ধি $R$, $\theta$ কোণ তৈরি করে।

   আমরা জানি,
   $\tan\theta = \frac{P \sin\alpha}{P + P \cos\alpha}$
   $\Rightarrow \tan\theta = \frac{P \sin\alpha}{P(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$
   $\Rightarrow \tan\theta = \frac{2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}$
   $\therefore \theta = \frac{\alpha}{2}$ (দেখানো হলো)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, উল্লম্ব দেওয়ালের $A$ বিন্দুতে সুতাটি বাঁধা আছে। সুতার দৈর্ঘ্য $AB = x\text{ cm}$। গোলকের কেন্দ্র $O$ এবং ব্যাসার্ধ $r = OB = x\text{ cm}$। সুতা গোলকের স্পর্শবিন্দু $B$ দিয়ে কেন্দ্রে প্রসারিত রেখা বরাবর অবস্থান করে।
   সুতরাং, কেন্দ্র $O$ থেকে দেওয়ালের আটকানো বিন্দুর দূরত্ব $OA = AB + BO = x + x = 2x\text{ cm}$।
   গোলকটি দেওয়ালে $C$ বিন্দুতে স্পর্শ করে, যেখানে $OC$ হলো দেওয়ালের ওপর লম্ব (ব্যাসার্ধ), অতএব $OC = x\text{ cm}$ এবং $\angle ACO = 90^\circ$।

   সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ACO$ হতে,
   $\sin(\angle OAC) = \frac{OC}{OA} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$
   $\Rightarrow \angle OAC = 30^\circ$

   এখানে গোলকটির ভারসাম্যের জন্য ক্রিয়ারত বলগুলো হলো:
   ১. গোলকের ওজন $W = 8\text{ kg-wt}$, যা কেন্দ্র $O$ থেকে খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে।
   ২. দেওয়ালের উল্লম্ব অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া $R$, যা $CO$ রেখা বরাবর (অনুভূমিকভাবে বাইরের দিকে) ক্রিয়া করে।
   ৩. সুতার টান $T$, যা $OA$ রেখা বরাবর ভেতরের দিকে ক্রিয়া করে।

   $O$ বিন্দুতে বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকায় লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
   $\frac{T}{\sin(\angle между\; W\; ও\; R)} = \frac{W}{\sin(\angle между\; R\; ও\; T)}$
   যেহেতু প্রতিক্রিয়া $R$ অনুভূমিক এবং ওজন $W$ উল্লম্ব, তাই তাদের মধ্যবর্তী কোণ $90^\circ$।
   আবার, $OA$ রেখা উল্লম্ব দেওয়ালের সাথে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে, সুতরাং অনুভূমিক রেখা $CO$-এর সাথে $OA$-এর মধ্যবর্তী কোণ $(90^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$ অথবা $T$ ও $R$-এর মধ্যবর্তী কোণ $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ বা $90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$ বিবেচনা করা যায়।
   সহজভাবে, উল্লম্ব দিকে বলগুলোর উপাংশ নিয়ে পাই:
   $T \cos(30^\circ) = W$
   $\Rightarrow T \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\text{ kg-wt}$
   $\Rightarrow T = \frac{16}{\sqrt{3}}\text{ kg-wt} = \frac{16\sqrt{3}}{3}\text{ kg-wt} \approx 9.24\text{ kg-wt}$

   অতএব, সুতার টান $\frac{16}{\sqrt{3}}\text{ kg-wt}$ বা $\frac{16g}{\sqrt{3}}\text{ N}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, $\triangle ABC$-এর শীর্ষবিন্দু $A, B, C$-তে যথাক্রমে তিনটি সমমুখী সমান্তরাল বল $P, Q, R$ ক্রিয়ারত এবং তাদের লব্ধি $P+Q+R$ ত্রিভুজটির অন্তঃকেন্দ্র $I$ দিয়ে যায়।
   $AI$ রেখা বর্ধিত হয়ে $BC$ বাহুকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   $B$ ও $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বল $Q$ ও $R$-এর লব্ধি $(Q+R)$ যদি $BC$-এর ওপর $D$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে, তবে সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী:
   $Q \cdot BD = R \cdot CD$
   $\Rightarrow \frac{Q}{R} = \frac{CD}{BD}$

   আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের কোনো কোণের অন্তর্বিখণ্ডক বিপরীত বাহুকে সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের অনুপাতে বিভক্ত করে।
   যেহেতু $I$ হলো $\triangle ABC$-এর অন্তঃকেন্দ্র, তাই $AD$ হলো $\angle A$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
   অতএব, $D$ বিন্দু $BC$ বাহুকে $AB : AC$ অনুপাতে অর্থাৎ $c : b$ অনুপাতে বিভক্ত করে।
   $\therefore \frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}$
   অতএব,
   $\frac{Q}{R} = \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{Q}{b} = \frac{R}{c}$

   আবার, $A$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $P$ বল এবং $D$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $(Q+R)$ বলের লব্ধি অন্তঃকেন্দ্র $I$ বিন্দুতে ক্রিয়া করায়,
   $P \cdot AI = (Q + R) \cdot ID$
   $\Rightarrow \frac{P}{Q + R} = \frac{ID}{AI}$

   আমরা জানি, অন্তঃকেন্দ্র $I$, কোণের সমদ্বিখণ্ডক $AD$-কে $(b+c) : a$ অনুপাতে বিভক্ত করে।
   অর্থাৎ, $\frac{AI}{ID} = \frac{b + c}{a} \Rightarrow \frac{ID}{AI} = \frac{a}{b + c}$

   অতএব,
   $\frac{P}{Q + R} = \frac{a}{b + c}$
   যেহেতু $\frac{Q}{b} = \frac{R}{c} = k$ (ধরি), তাহলে $Q = bk$ এবং $R = ck$।
   সুতরাং, $Q + R = k(b + c)$,
   বা, $\frac{Q + R}{b + c} = k = \frac{Q}{b} = \frac{R}{c}$

   অতএব,
   $\frac{P}{a} = \frac{Q + R}{b + c} = \frac{Q}{b} = \frac{R}{c}$
   অর্থাৎ,
   $\frac{P}{a} = \frac{Q}{b} = \frac{R}{c}$
   $\therefore P : Q : R = a : b : c$ (প্রমাণিত)।