cos⁡2A−cos⁡2B\cos^2 A - \cos^2 B = কত?

Question

Accepted Answer

ঘ. sin⁡(B−A)\sin(B-A)

ব্যাখ্যা: উদ্দীপকের ত্রিভুজ $	riangle ABC$-এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$AB^2 = 2^2 = 4$
$BC^2 + AC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$
যেহেতু $AB^2 = BC^2 + AC^2$, সুতরাং $\angle C = 90^\circ$।

তাহলে, $A + B = 90^\circ$ বা $B = 90^\circ - A$।

আমরা জানি,
$\cos^2 A - \cos^2 B = (1 - \sin^2 A) - (1 - \sin^2 B) = \sin^2 B - \sin^2 A$
ত্রিকোণমিতিক সূত্রানুসারে, $\sin^2 B - \sin^2 A = \sin(B+A)\sin(B-A)$
যেহেতু $A + B = 90^\circ$, তাই $\sin(B+A) = \sin(90^\circ) = 1$
অতএব,
$\cos^2 A - \cos^2 B = 1 \cdot \sin(B-A) = \sin(B-A)$।

বিকল্পভাবে মান বসিয়ে যাচাই:
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies A = 30^\circ$
$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} \implies B = 60^\circ$
$\cos^2 A - \cos^2 B = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}ight)^2 - \left(\frac{1}{2}ight)^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

আবার, $\sin(B - A) = \sin(60^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$।

সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন 4।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন