উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রাশি,
   $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\tan bx}$
   $= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin ax}{ax} \cdot ax}{\frac{\tan bx}{bx} \cdot bx}$
   $= \frac{a}{b} \cdot \frac{\lim_{ax \to 0} \frac{\sin ax}{ax}}{\lim_{bx \to 0} \frac{\tan bx}{bx}}$
   $= \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}$ (উত্তর)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $F(x) = \ln x$
   ধরি, $y = e^{2F(x)} + (x^x)^x$
   $= e^{2\ln x} + x^{x \cdot x}$
   $= e^{\ln(x^2)} + x^{x^2}$
   $= x^2 + x^{x^2}$

   ধরি, $u = x^2$ এবং $v = x^{x^2}$
   $\therefore y = u + v \implies \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$

   এখন, $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

   আবার, $v = x^{x^2}$
   উভয়পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে,
   $\ln v = \ln(x^{x^2}) = x^2 \ln x$
   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 \ln x)$
   $\implies \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x^2 \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot (2x)$
   $\implies \frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x + 2x \ln x = x(1 + 2\ln x)$
   $\implies \frac{dv}{dx} = v \cdot x(1 + 2\ln x) = x^{x^2} \cdot x(1 + 2\ln x) = x^{x^2 + 1}(1 + 2\ln x)$

   $\therefore \frac{dy}{dx} = 2x + x^{x^2 + 1}(1 + 2\ln x)$ (উত্তর)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $F(x) = \ln x$
   প্রদত্ত ফাংশন, $y = \frac{e^{F(x)}}{F(x)} = \frac{e^{\ln x}}{\ln x} = \frac{x}{\ln x}$

   $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
   $\frac{dy}{dx} = \frac{\ln x \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2}$
   $\implies \frac{dy}{dx} = \frac{\ln x \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$

   চরম মানের (গুরুমান বা লঘুমান) জন্য,
   $\frac{dy}{dx} = 0$
   $\implies \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = 0$
   $\implies \ln x - 1 = 0$
   $\implies \ln x = 1$
   $\implies x = e$

   এখন, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[ \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right]$
   $= \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - (\ln x - 1) \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4}$

   $x = e$ বিন্দুতে,
   $\left[ \frac{d^2y}{dx^2} \right]_{x=e} = \frac{(\ln e)^2 \cdot \frac{1}{e} - (\ln e - 1) \cdot 2\ln e \cdot \frac{1}{e}}{(\ln e)^4}$
   $= \frac{(1)^2 \cdot \frac{1}{e} - 0}{1} = \frac{1}{e} > 0$

   যেহেতু $x = e$ বিন্দুতে $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$, তাই $x = e$ বিন্দুতে ফাংশনটির ক্ষুদ্রতম (লঘিষ্ঠ) মান বিদ্যমান।

   $\therefore$ ক্ষুদ্রতম মান $= \frac{e}{\ln e} = \frac{e}{1} = e$ (উত্তর)