পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির প্রতিটি মান থেকে তাদের গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের বর্গের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে ভেদাঙ্ক বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির পরিমিত ব্যবধানকে তার গাণিতিক গড় দ্বারা ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করলে বিভেদাঙ্ক পাওয়া যায় ($CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%$)। পরিমিত ব্যবধান এবং গাণিতিক গড় উভয়ের একক একই হওয়ায় তাদের অনুপাতে মূল তথ্যসারির এককটি কাটাকাটি হয়ে যায়। ফলে বিভেদাঙ্ক শতকরায় প্রকাশিত একটি এককহীন বা এককমুক্ত আপেক্ষিক পরিমাপে পরিণত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে পাই:
   প্রাণ কোম্পানির জন্য: $n_1 = 50$, $\bar{x}_1 = 500$, $\sigma_1 = 30$
   কোকাকোলা কোম্পানির জন্য: $n_2 = 60$, $\bar{x}_2 = 450$, $\sigma_2 = 20$

   সম্মিলিত গড়, $\bar{x}_{12} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$
   $= \frac{50 \times 500 + 60 \times 450}{50 + 60} = \frac{25000 + 27000}{110} = \frac{52000}{110} \approx 472.73$

   এখন,
   $d_1 = \bar{x}_1 - \bar{x}_{12} = 500 - 472.73 = 27.27$
   $d_2 = \bar{x}_2 - \bar{x}_{12} = 450 - 472.73 = -22.73$

   সম্মিলিত পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_{12} = \sqrt{\frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}}$
   $n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) = 50 \times (30^2 + 27.27^2) = 50 \times (900 + 743.65) = 50 \times 1643.65 = 82182.5$
   $n_2(\sigma_2^2 + d_2^2) = 60 \times (20^2 + (-22.73)^2) = 60 \times (400 + 516.65) = 60 \times 916.65 = 54999$

   $\sigma_{12} = \sqrt{\frac{82182.5 + 54999}{110}} = \sqrt{\frac{137181.5}{110}} = \sqrt{1247.10} \approx 35.31$

   অতএব, কোম্পানি দুটির শ্রমিকদের সম্মিলিত পরিমিত ব্যবধান প্রায় ৩৫.৩১ টাকা।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মজুরি কাঠামোর সামঞ্জস্যতা যাচাইয়ের জন্য উভয় কোম্পানির বিভেদাঙ্ক ($CV$) নির্ণয় করতে হবে। যার বিভেদাঙ্ক কম, তার মজুরি কাঠামো অধিক সামঞ্জস্যপূর্ণ।

   প্রাণ কোম্পানির ক্ষেত্রে:
   গড় মজুরি, $\bar{x}_1 = 500$ টাকা
   পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_1 = 30$ টাকা
   বিভেদাঙ্ক, $CV_1 = \frac{\sigma_1}{\bar{x}_1} \times 100 = \frac{30}{500} \times 100 = 6\%$

   কোকাকোলা কোম্পানির ক্ষেত্রে:
   গড় মজুরি, $\bar{x}_2 = 450$ টাকা
   পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_2 = 20$ টাকা
   বিভেদাঙ্ক, $CV_2 = \frac{\sigma_2}{\bar{x}_2} \times 100 = \frac{20}{450} \times 100 \approx 4.44\%$

   তুলনা ও মতামত:
   এখানে, $CV_2 < CV_1$ ($4.44\% < 6\%$)।
   যেহেতু কোকাকোলা কোম্পানির বিভেদাঙ্ক প্রাণ কোম্পানির বিভেদাঙ্কের চেয়ে কম, সেহেতু কোকাকোলা কোম্পানির শ্রমিকদের মজুরি কাঠামো অধিক সামঞ্জস্যপূর্ণ ও সুষম।