উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

LD, ME ও NF যথাক্রমে MN, NLও LM এর উপর লম্ব।

  1. ক)

    বলের অংশক ও লব্ধি ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ 12P→ \frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{P}} বলকে কোন বাহু বরাবর সথানান্তর করা যাবে? যদি বলদ্বয়ের লব্ধি P P বলের 52 \frac{\sqrt{5}}{2} গুণ হয় তবে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ ও লব্ধির দিক নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লিখিত বলগুলির লবিধ শূন্য হলে প্রমাণ কর যে, W1=W2=W3 \mathrm{W}{1}=\mathrm{W}{2}=\mathrm{W}_{3} যখন l=m=n l=\mathrm{m}=\mathrm{n} .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বলের লব্ধি ও অংশক:

    ১. লব্ধি (Resultant): দুই বা ততোধিক বল কোনো একটি বিন্দুতে বা বস্তুর উপর একই সময়ে ক্রিয়া করলে এদের সম্মিলিত ক্রিয়ার ফলে যে একক বল উৎপন্ন হয় এবং যা একা ওই বলগুলোর সমান প্রভাব সৃষ্টি করে, তাকে বলগুলোর লব্ধি বলে।

    ২. অংশক (Components): একটি নির্দিষ্ট বলকে দুই বা ততোধিক ভিন্ন ভিন্ন দিকে এমনভাবে বিভক্ত করা যায় যেন তাদের সম্মিলিত ক্রিয়া মূল বলটির সমান হয়। এই বিভক্ত বলগুলোর প্রত্যেকটিকে মূল বলটির অংশক বলা হয়।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ১ম অংশ: দৃশ্যকল্প-১ এ সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। সুতরাং ভেক্টরের স্থানান্তর বিধি বা সমান্তরাল স্থানান্তর অনুযায়ী 12P⃗\frac{1}{2}\vec{P} বলকে OB বাহু বরাবর থেকে সমান্তরালভাবে AC বাহু বরাবর স্থানান্তর করা যাবে।

    ২য় অংশ:
    ধরি, PP এবং 12P\frac{1}{2}P বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α\alpha এবং লব্ধি R=52PR = \frac{\sqrt{5}}{2}P।
    সামান্তরিকের সূত্রানুসারে,
    R2=P2+(12P)2+2⋅P⋅(12P)cos⁡αR^2 = P^2 + \left(\frac{1}{2}P\right)^2 + 2 \cdot P \cdot \left(\frac{1}{2}P\right) \cos \alpha
    ⇒(52P)2=P2+14P2+P2cos⁡α\Rightarrow \left(\frac{\sqrt{5}}{2}P\right)^2 = P^2 + \frac{1}{4}P^2 + P^2 \cos \alpha
    ⇒54P2=54P2+P2cos⁡α\Rightarrow \frac{5}{4}P^2 = \frac{5}{4}P^2 + P^2 \cos \alpha
    ⇒P2cos⁡α=0\Rightarrow P^2 \cos \alpha = 0
    যেহেতু P≠0P \neq 0, তাই cos⁡α=0⇒α=90∘\cos \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ।
    সুতরাং, বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ α=90∘\alpha = 90^\circ।

    লব্ধির দিক নির্ণয়:
    ধরি, লব্ধি RR, PP বলের সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করে।
    তাহলে,
    tan⁡θ=12Psin⁡αP+12Pcos⁡α\tan \theta = \frac{\frac{1}{2}P \sin \alpha}{P + \frac{1}{2}P \cos \alpha}
    যেহেতু α=90∘\alpha = 90^\circ, তাই sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1 এবং cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0।
    tan⁡θ=12P⋅1P+0=12\tan \theta = \frac{\frac{1}{2}P \cdot 1}{P + 0} = \frac{1}{2}
    ⇒θ=tan⁡−1(12)≈26.57∘\Rightarrow \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \approx 26.57^\circ।

    অতএব, বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ 90∘90^\circ এবং লব্ধি PP বলের সাথে tan⁡−1(12)\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) বা প্রায় 26.57∘26.57^\circ কোণে ক্রিয়াশীল।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ অনুসারে, ΔLMN\Delta LMN-এ বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে MN=lMN = l, NL=mNL = m, LM=nLM = n।
    দেওয়া আছে, LD⊥MNLD \perp MN, ME⊥NLME \perp NL এবং NF⊥LMNF \perp LM। তিনটি লম্ব রেখা II বিন্দুতে মিলিত হয় (অর্থাৎ II হলো লম্ববিন্দু)।
    II বিন্দুতে তিনটি বল W1,W2,W3W_1, W_2, W_3 যথাক্রমে LD,ME,NFLD, ME, NF বরাবর ক্রিয়াশীল এবং তাদের লব্ধি শূন্য।
    অতএব, বল তিনটি সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

    লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
    W1sin⁡(∠EIF)=W2sin⁡(∠DIF)=W3sin⁡(∠DIE)\frac{W_1}{\sin(\angle EIF)} = \frac{W_2}{\sin(\angle DIF)} = \frac{W_3}{\sin(\angle DIE)}

    এখন, চতুর্ভুজ IFLEIFLE-এ ∠IFL=90∘\angle IFL = 90^\circ এবং ∠IEL=90∘\angle IEL = 90^\circ।
    অতএব, ∠EIF+∠L=180∘⇒∠EIF=180∘−∠L\angle EIF + \angle L = 180^\circ \Rightarrow \angle EIF = 180^\circ - \angle L।
    সুতরাং, sin⁡(∠EIF)=sin⁡(180∘−∠L)=sin⁡L\sin(\angle EIF) = \sin(180^\circ - \angle L) = \sin L।
    অনুরূপভাবে, চতুর্ভুজ IDMFIDMF থেকে sin⁡(∠DIF)=sin⁡M\sin(\angle DIF) = \sin M
    এবং চতুর্ভুজ IDNEIDNE থেকে sin⁡(∠DIE)=sin⁡N\sin(\angle DIE) = \sin N।

    অতএব,
    W1sin⁡L=W2sin⁡M=W3sin⁡N\frac{W_1}{\sin L} = \frac{W_2}{\sin M} = \frac{W_3}{\sin N}

    ত্রিভুজের সাইন সূত্র হতে আমরা জানি,
    lsin⁡L=msin⁡M=nsin⁡N=2R\frac{l}{\sin L} = \frac{m}{\sin M} = \frac{n}{\sin N} = 2R
    ⇒sin⁡L=l2R,sin⁡M=m2R,sin⁡N=n2R\Rightarrow \sin L = \frac{l}{2R}, \quad \sin M = \frac{m}{2R}, \quad \sin N = \frac{n}{2R}

    মানগুলো বসিয়ে পাই,
    W1l=W2m=W3n\frac{W_1}{l} = \frac{W_2}{m} = \frac{W_3}{n}

    এখন, যদি l=m=nl = m = n হয় (অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমবাহু হয়),
    তবে,
    W1l=W2l=W3l\frac{W_1}{l} = \frac{W_2}{l} = \frac{W_3}{l}
    ⇒W1=W2=W3\Rightarrow W_1 = W_2 = W_3 (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন