গণিত • BUET • বাংলাদেশ প্রকৌশল বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষা ২০০১-২০০২

গণিত প্রশ্ন

3.

মান নির্ণয় করঃ∫23dx(x−1)x2−2x \int_{2}^{3} \frac{d x}{(x-1) \sqrt{x^{2}-2 x}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত রাশি,
I=∫23dx(x−1)x2−2xI = \int_{2}^{3} \frac{dx}{(x-1)\sqrt{x^2-2x}}

আমরা জানি, x2−2x=(x−1)2−1x^2-2x = (x-1)^2 - 1
তাহলে,
I=∫23dx(x−1)(x−1)2−1I = \int_{2}^{3} \frac{dx}{(x-1)\sqrt{(x-1)^2 - 1}}

ধরি, x−1=sec⁡θx-1 = \sec\theta
অতএব, dx=sec⁡θtan⁡θ dθdx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta

সীমা পরিবর্তন:
যখন x=2x = 2, sec⁡θ=2−1=1  ⟹  θ=0\sec\theta = 2 - 1 = 1 \implies \theta = 0
যখন x=3x = 3, sec⁡θ=3−1=2  ⟹  θ=π3\sec\theta = 3 - 1 = 2 \implies \theta = \frac{\pi}{3}

সুতরাং,
I=∫0π3sec⁡θtan⁡θ dθsec⁡θsec⁡2θ−1I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec\theta\tan\theta\,d\theta}{\sec\theta\sqrt{\sec^2\theta - 1}}
=∫0π3sec⁡θtan⁡θsec⁡θtan⁡θ dθ= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec\theta\tan\theta}{\sec\theta\tan\theta}\,d\theta
=∫0π3dθ= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} d\theta
=[θ]0π3=π3−0=π3= [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}

উত্তর: π3\frac{\pi}{3}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন