পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো তথ্যসারির মানগুলোকে মানের ক্রমানুসারে (ঊর্ধ্বক্রম বা নিম্নক্রম) সাজালে যে মানটি সমগ্র তথ্যসারিকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে, তাকে মধ্যমা (Median) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একটি নিবেশনের তিনটি চতুর্থক থাকে। এদেরকে যথাক্রমে প্রথম চতুর্থক (Q₁), দ্বিতীয় চতুর্থক (Q₂) এবং তৃতীয় চতুর্থক (Q₃) বলা হয়।

   ব্যাখ্যা: চতুর্থক হলো এমন মান যা ক্রমানুসারে সাজানো কোনো তথ্যসারিকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করে। একটি সমগ্রককে চার ভাগে ভাগ করার জন্য তিনটি বিভাজন বিন্দুর প্রয়োজন হয়।

   • প্রথম চতুর্থক (Q₁) নিবেশনের মোট পর্যবেক্ষণের ২৫% মান এর নিচে রাখে।
   • দ্বিতীয় চতুর্থক (Q₂) ৫০% মান নিচে রাখে, যা মধ্যমার সমান।
   • তৃতীয় চতুর্থক (Q₃) ৭৫% মান নিচে রাখে।
     অতএব, একটি নিবেশনে চতুর্থকের সংখ্যা তিনটি।
3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের আলোকে গাণিতিক গড় (AM) নির্ণয়ের সারণি:

   শ্রেণি ব্যবধান	মধ্যমান (xᵢ)	গণসংখ্যা (fᵢ)	fᵢxᵢ
   0 – 10	5	3	15
   10 – 20	15	8	120
   20 – 30	25	15	375
   30 – 40	35	7	245
   40 – 50	45	2	90
   মোট		N = 35	∑fᵢxᵢ = 845

   গাণিতিক গড়, AM (x̄) = (∑fᵢxᵢ) / N
   = 845 / 35
   ≈ 24.14

   অতএব, নির্ণেয় গাণিতিক গড় (AM) হলো 24.14।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মধ্যমা (Me) ও প্রচুরক (Mo) নির্ণয়ের সারণি:

   শ্রেণি ব্যবধান	গণসংখ্যা (fᵢ)	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $(F_c)$
   0 – 10	3	3
   10 – 20	8	11
   20 – 30	15	26
   30 – 40	7	33
   40 – 50	2	35
   মোট	N = 35

   মধ্যমা (Me) নির্ণয়:
   এখানে, N/2 = 35 / 2 = 17.5।
   17.5 তম মানটি (20 – 30) শ্রেণিতে অবস্থিত। অতএব, মধ্যমা শ্রেণি হলো 20 – 30।
   আমরা জানি,
   $Me = L + [(N/2 - F_c) / f_m] \times c$
   যেখানে,
   L = মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা = 20
   N = মোট গণসংখ্যা = 35
   $F_c =$ মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা = 11
   $f_m =$ মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা = 15
   c = শ্রেণি ব্যবধান = 10

   অতএব,
   Me = 20 + [(17.5 - 11) / 15] × 10
   = 20 + [6.5 / 15] × 10
   = 20 + 4.33 = 24.33

   প্রচুরক (Mo) নির্ণয়:
   সর্বোচ্চ গণসংখ্যা হলো 15, যা (20 – 30) শ্রেণিতে বিদ্যমান। অতএব, প্রচুরক শ্রেণি হলো 20 – 30।
   আমরা জানি,
   Mo = L + [Δ₁ / (Δ₁ + Δ₂)] × c
   যেখানে,
   L = প্রচুরক শ্রেণির নিম্নসীমা = 20
   Δ₁ = প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা ও তার পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য = 15 - 8 = 7
   Δ₂ = প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা ও তার পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যার পার্থক্য = 15 - 7 = 8
   c = শ্রেণি ব্যবধান = 10

   অতএব,
   Mo = 20 + [7 / (7 + 8)] × 10
   = 20 + [7 / 15] × 10
   = 20 + 4.67 = 24.67

   তুলনা:
   নির্ণীত মানসমূহ:
   গাণিতিক গড়, AM = 24.14
   মধ্যমা, Me = 24.33
   প্রচুরক, Mo = 24.67

   দেখা যাচ্ছে যে, AM < Me < Mo (24.14 < 24.33 < 24.67)। মধ্যমা ও প্রচুরকের মান খুব কাছাকাছি হলেও প্রচুরকের মান মধ্যমা অপেক্ষা সামান্য বেশি (Mo > Me)। নিবেশনটিতে AM < Me < Mo সম্পর্ক বিদ্যমান থাকায় এটি ঋণাত্মক প্রতিসাম্য বা ঋণাত্মক বঙ্কিম নিবেশন নির্দেশ করে।