উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প: f(x)=cos⁡x,g(x)=2x2+2y2f(x) = \cos x, g(x) = 2x^2 + 2y^2.

  1. ক)

    ∫xe2x2dx\int xe^{2x^2} dx নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    ∫0π2f(x)8+{f(x)}2dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{8 + {f(x)}^2} dx এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে g(x)=72g(x) = 72 বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, z=2x2z = 2x^2
    তাহলে, dz=4xdx  ⟹  xdx=14dzdz = 4x dx \implies x dx = \frac{1}{4} dz

    অতএব,
    ∫xe2x2dx=∫ez⋅14dz=14ez+c=14e2x2+c\int x e^{2x^2} dx = \int e^z \cdot \frac{1}{4} dz = \frac{1}{4} e^z + c = \frac{1}{4} e^{2x^2} + c
    (যেখানে cc একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x
    নির্ণেয় যোগজ:
    I=∫0π2f(x)8+{f(x)}2dx=∫0π2cos⁡x8+cos⁡2xdxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{8 + \{f(x)\}^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{8 + \cos^2 x} dx
    =∫0π2cos⁡x8+(1−sin⁡2x)dx=∫0π2cos⁡x9−sin⁡2xdx= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{8 + (1 - \sin^2 x)} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{9 - \sin^2 x} dx

    ধরি, z=sin⁡xz = \sin x
    ∴dz=cos⁡xdx\therefore dz = \cos x dx

    সীমা পরিবর্তন:
    যখন x=0x = 0, তখন z=sin⁡0=0z = \sin 0 = 0
    যখন x=π2x = \frac{\pi}{2}, তখন z=sin⁡π2=1z = \sin\frac{\pi}{2} = 1

    সুতরাং,
    I=∫01dz32−z2=[12⋅3ln⁡∣3+z3−z∣]01I = \int_{0}^{1} \frac{dz}{3^2 - z^2} = \left[ \frac{1}{2 \cdot 3} \ln\left| \frac{3 + z}{3 - z} \right| \right]_{0}^{1}
    =16(ln⁡∣3+13−1∣−ln⁡∣3+03−0∣)=16(ln⁡2−ln⁡1)=16ln⁡2= \frac{1}{6} \left( \ln\left| \frac{3+1}{3-1} \right| - \ln\left| \frac{3+0}{3-0} \right| \right) = \frac{1}{6} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{6} \ln 2

    অতএব, নির্ণেয় মান 16ln⁡2\frac{1}{6} \ln 2।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, g(x)=2x2+2y2=72g(x) = 2x^2 + 2y^2 = 72
    বা, x2+y2=36=62x^2 + y^2 = 36 = 6^2, যা একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র (0,0)(0,0) এবং ব্যাসার্ধ r=6r = 6।

    প্রথম চতুর্ভাগে বৃত্তটির জন্য y=36−x2y = \sqrt{36 - x^2} এবং xx-এর সীমা 00 থেকে 66 পর্যন্ত।
    বৃত্তটি উভয় অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম হওয়ায় মোট ক্ষেত্রফল হবে প্রথম চতুর্ভাগের ক্ষেত্রফলের 44 গুণ।

    অতএব, বৃত্তের ক্ষেত্রফল:
    A=4∫06y dx=4∫0662−x2 dxA = 4 \int_{0}^{6} y \, dx = 4 \int_{0}^{6} \sqrt{6^2 - x^2} \, dx

    আমরা জানি, ∫a2−x2dx=x2a2−x2+a22sin⁡−1(xa)\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)

    সুতরাং,
    A=4[x236−x2+362sin⁡−1(x6)]06A = 4 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{36 - x^2} + \frac{36}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{6}\right) \right]_{0}^{6}
    =4[(0+18sin⁡−1(1))−(0+18sin⁡−1(0))]= 4 \left[ \left( 0 + 18 \sin^{-1}(1) \right) - \left( 0 + 18 \sin^{-1}(0) \right) \right]
    =4[18⋅π2−0]=4×9π=36π বর্গ একক।= 4 \left[ 18 \cdot \frac{\pi}{2} - 0 \right] = 4 \times 9\pi = 36\pi \text{ বর্গ একক।}

    অতএব, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল 36π36\pi বর্গ একক।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন