The coefficient of xnx^{n} in the expansion of 1(1−x)(1−2x)(1−3x)\dfrac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} is ;

Question

Accepted Answer

খ. 12(3n+2−2n+3+1)\dfrac{1}{2}(3^{n+2}-2^{n+3}+1)

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত ভগ্নাংশটিকে আংশিক ভগ্নাংশে (partial fraction) রূপান্তর করি:
$$\frac{1}{(1-x)(1-2x)(1-3x)} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{1-2x} + \frac{C}{1-3x}$$
কভার-আপ (Cover-up) পদ্ধতির সাহায্যে:
- $A = \frac{1}{(1-2)(1-3)} = \frac{1}{2}$
- $B = \frac{1}{(1-1/2)(1-3/2)} = -4$
- $C = \frac{1}{(1-1/3)(1-2/3)} = \frac{9}{2}$

আমরা জানি, $(1-ax)^{-1}$ এর বিস্তৃতিতে $x^n$ এর সহগ হলো $a^n$।
অতএব, প্রদত্ত রাশির বিস্তৃতিতে $x^n$ এর সহগ হবে:
$$A \cdot 1^n + B \cdot 2^n + C \cdot 3^n = \frac{1}{2} - 4 \cdot 2^n + \frac{9}{2} \cdot 3^n$$
$$= \frac{1}{2} - 2^{n+2} + \frac{1}{2} \cdot 3^{n+2} = \frac{1}{2}\left(3^{n+2} - 2^{n+3} + 1\right)$$
যা অপশন 2-এর সাথে মিলে যায়।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন