উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বলদ্বয় $P = 5\text{ N}$ এবং $Q = 8\text{ N}$ এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = 60^\circ$।
   লব্ধি $R$ হলে,
   $R = \sqrt{P^2 + Q^2 + 2PQ\cos\alpha}$
   $R = \sqrt{5^2 + 8^2 + 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ}$
   $R = \sqrt{25 + 64 + 80 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{89 + 40} = \sqrt{129}\text{ N} \approx 11.36\text{ N}$

   উত্তর: লব্ধির মান $\sqrt{129}\text{ N}$ (বা প্রায় $11.36\text{ N}$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যেহেতু $O$ বিন্দুটি $\Delta PQR$-এর অন্তঃকেন্দ্র, তাই $OP, OQ, OR$ যথাক্রমে $\angle P, \angle Q, \angle R$-এর সমদ্বিখণ্ডক।
   সুতরাং,
   $\angle OPQ = \frac{P}{2}, \quad \angle OQP = \frac{Q}{2}$
   $\Delta OPQ$-তে,
   $\angle POQ = 180^\circ - (\angle OPQ + \angle OQP) = 180^\circ - \left(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}\right) = 180^\circ - \left(\frac{180^\circ - R}{2}\right) = 90^\circ + \frac{R}{2}$
   অনুরূপভাবে,
   $\angle QOR = 90^\circ + \frac{P}{2}$
   $\angle ROP = 90^\circ + \frac{Q}{2}$

   $O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $S, T, W$ বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকায় লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{S}{\sin(\angle QOR)} = \frac{T}{\sin(\angle ROP)} = \frac{W}{\sin(\angle POQ)}$
   $\Rightarrow \frac{S}{\sin\left(90^\circ + \frac{P}{2}\right)} = \frac{T}{\sin\left(90^\circ + \frac{Q}{2}\right)} = \frac{W}{\sin\left(90^\circ + \frac{R}{2}\right)}$
   $\Rightarrow \frac{S}{\cos\frac{P}{2}} = \frac{T}{\cos\frac{Q}{2}} = \frac{W}{\cos\frac{R}{2}}$

   $\therefore S : T : W = \cos\frac{P}{2} : \cos\frac{Q}{2} : \cos\frac{R}{2}$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $A$ ও $B$ বলদ্বয় যথাক্রমে একটি সরলরেখার $P$ ও $Q$ বিন্দুতে সদৃশ সমান্তরালভাবে ক্রিয়ারত এবং তাদের লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
   সদৃশ সমান্তরাল বলের সূত্রানুযায়ী,
   $A \cdot PC = B \cdot QC$
   বা, $A \cdot PC = B(PQ - PC)$
   বা, $(A + B)PC = B \cdot PQ$
   $\therefore PC = \frac{B}{A + B} PQ \quad \dots (1)$

   এখন, $A$ বলটির ক্রিয়ারেখা সমান্তরাল রেখে তার ক্রিয়াবিন্দুকে $P$ থেকে $l$ দূরত্বে $P'$ বিন্দুতে সরানো হলো ($PP' = l$)।
   ধরি, লব্ধির নতুন ক্রিয়াবিন্দু $C'$ এবং লব্ধির সরণ $CC' = d$।
   সুতরাং, $P'C' = PC + PP' - CC' = PC + l - d$ অথবা সরাসরি $P'$ ও $Q$ বিন্দুর সাপেক্ষে পাই:
   $A \cdot P'C' = B \cdot QC'$
   বা, $A \cdot (PC + l - d) = B \cdot (QC - d)$ [যদি $P$ কে বামে এবং $P'$ কে আরও বামে বা ডানে বিবেচনা করি]
   সহজভাবে, $C$ বিন্দুর সাপেক্ষে বলদ্বয়ের ভ্রামক নিয়ে পাই:
   পূর্বে লব্ধি $C$ বিন্দুতে থাকায় $C$ বিন্দুর সাপেক্ষে মোট ভ্রামক শূন্য ছিল।
   $A$ বলকে $l$ দূরত্বে সরালে তার ভ্রামকের পরিবর্তন হয় $= A \cdot l$।
   লব্ধি $A+B$ বল $d$ দূরত্বে সরে যাওয়ায় তার ভ্রামক $= (A+B) \cdot d$।
   সাম্যাবস্থা/ভ্রামকের ধর্ম অনুসারে,
   $(A + B) \cdot d = A \cdot l$
   $\therefore d = \frac{A l}{A + B}$

   অতএব, $A$ ও $B$ এর লব্ধি $\frac{Al}{A+B}$ দূরত্বে সরে যাবে। (দেখানো হলো)