উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 = 1 - 2y$
   $\implies x^2 = -2\left(y - \frac{1}{2}\right)$

   সমীকরণটিকে $X^2 = -4aY$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $X = x$, $Y = y - \frac{1}{2}$ এবং $4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}$

   আমরা জানি, $X^2 = -4aY$ পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(0, -a)$।
   $\therefore X = 0 \implies x = 0$
   এবং $Y = -a \implies y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies y = 0$

   অতএব, নির্ণেয় উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(0, 0)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র (দৃশ্যকল্প-১) হতে পাই,
   পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $A(0, 0)$ এবং উপকেন্দ্র $S(3, 4)$।

   শীর্ষবিন্দু $A$, উপকেন্দ্র $S$ এবং নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$-এর মধ্যবিন্দু।
   $\therefore \frac{\alpha + 3}{2} = 0 \implies \alpha = -3$
   $\frac{\beta + 4}{2} = 0 \implies \beta = -4$
   অতএব, নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z(-3, -4)$।

   অক্ষরেখা $SZ$-এর ঢাল, $m = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}$
   যেহেতু নিয়ামকরেখা $MZ$ অক্ষরেখার ওপর লম্ব, তাই নিয়ামকরেখার ঢাল $= -\frac{1}{m} = -\frac{3}{4}$

   সুতরাং, $Z(-3, -4)$ বিন্দুগামী নিয়ামকরেখার সমীকরণ:
   $y - (-4) = -\frac{3}{4}(x - (-3))$
   $\implies 4(y + 4) = -3(x + 3)$
   $\implies 4y + 16 = -3x - 9$
   $\implies 3x + 4y + 25 = 0$

   পরাবৃত্তের ওপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে, পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে:
   $SP = PM$
   $\implies SP^2 = PM^2$
   $\implies (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = \frac{(3x + 4y + 25)^2}{3^2 + 4^2}$
   $\implies (x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16) = \frac{(3x + 4y + 25)^2}{25}$
   $\implies 25(x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25) = (3x + 4y)^2 + 2 \cdot 25(3x + 4y) + 625$
   $\implies 25x^2 + 25y^2 - 150x - 200y + 625 = 9x^2 + 24xy + 16y^2 + 150x + 200y + 625$
   $\implies 16x^2 - 24xy + 9y^2 - 300x - 400y = 0$

   অতএব, পরাবৃত্তটির সমীকরণ: $16x^2 - 24xy + 9y^2 - 300x - 400y = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণ:
   $4x^2 + 5y^2 - 16x + 10y + 1 = 0$
   $\implies 4(x^2 - 4x) + 5(y^2 + 2y) + 1 = 0$
   $\implies 4(x - 2)^2 - 16 + 5(y + 1)^2 - 5 + 1 = 0$
   $\implies 4(x - 2)^2 + 5(y + 1)^2 = 20$
   উভয়পক্ষকে $20$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{(x - 2)^2}{5} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$

   ধরি, $X = x - 2, Y = y + 1, a^2 = 5, b^2 = 4$। এখানে $a = \sqrt{5}$ এবং $b = 2$, অর্থাৎ $a > b$।

   ১. উৎকেন্দ্রিকতা ($e$):
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

   ২. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 4}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$ একক

   ৩. উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
   $X = \pm ae = \pm \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm 1$
   $Y = 0$

   অতএব,
   $x - 2 = \pm 1 \implies x = 2 \pm 1 \implies x = 3$ অথবা $x = 1$
   $y + 1 = 0 \implies y = -1$
   সুতরাং, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $(3, -1)$ এবং $(1, -1)$।

   ৪. নিয়ামক রেখার সমীকরণ:
   $X = \pm \frac{a}{e}$
   $\implies x - 2 = \pm \frac{\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = \pm 5$
   $\implies x - 2 = 5$ অথবা $x - 2 = -5$
   $\implies x - 7 = 0$ অথবা $x + 3 = 0$