উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কণিক: সমতলে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু এবং একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা থেকে যে সকল বিন্দুর দূরত্বের অনুপাত একটি ধ্রুবক সংখ্যা, তাদের সেটকে বা সঞ্চারপথকে কণিক (Conic) বলে। এই ধ্রুবক অনুপাতটিকে উৎকেন্দ্রিকতা ($e$) বলা হয়।

   উপকেন্দ্র: কণিকের সংজ্ঞায় উল্লেখিত সমতলের ঐ নির্দিষ্ট স্থির বিন্দুটিকে কণিকের উপকেন্দ্র (Focus) বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-১ এ প্রদত্ত সমীকরণ:
   $3x^2 - 4y - 6x - 5 = 0$
   $\Rightarrow 3x^2 - 6x = 4y + 5$
   $\Rightarrow 3(x^2 - 2x) = 4y + 5$
   $\Rightarrow 3(x^2 - 2x + 1) = 4y + 5 + 3$
   $\Rightarrow 3(x - 1)^2 = 4y + 8$
   $\Rightarrow 3(x - 1)^2 = 4(y + 2)$
   $\Rightarrow (x - 1)^2 = \frac{4}{3}(y + 2)$
   $\Rightarrow (x - 1)^2 = 4 \cdot \frac{1}{3} (y + 2)$

   যা পরাবৃত্তের আদর্শ রূপ $X^2 = 4AY$ এর অনুরূপ; যেখানে $X = x - 1$, $Y = y + 2$ এবং $A = \frac{1}{3}$।

   ১. শীর্ষবিন্দু:
   $X = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
   $Y = 0 \Rightarrow y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$
   অতএব, শীর্ষবিন্দু $(1, -2)$।

   ২. উপকেন্দ্র:
   উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(0, A)$
   $\therefore X = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
   এবং $Y = A \Rightarrow y + 2 = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$
   অতএব, উপকেন্দ্র $\left(1, -\frac{5}{3}\right)$।

   ৩. অক্ষের সমীকরণ:
   অক্ষের সমীকরণ $X = 0$
   $\Rightarrow x - 1 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক-২ এর চিত্রানুযায়ী,
   পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $A(3, 2)$ এবং উপকেন্দ্র $S(0, 2)$।

   যেহেতু শীর্ষবিন্দু ও উপকেন্দ্রের কোটি একই ($y = 2$), তাই অক্ষরেখাটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল এবং এর সমীকরণ $y = 2$ বা $y - 2 = 0$।

   ধরি, অক্ষরেখা ও দিকাক্ষের ($MM'$) ছেদবিন্দু $Z(\alpha, \beta)$।
   আমরা জানি, শীর্ষবিন্দু $A$, $S$ এবং $Z$ এর মধ্যবিন্দু।
   $\therefore \frac{\alpha + 0}{2} = 3 \Rightarrow \alpha = 6$
   $\frac{\beta + 2}{2} = 2 \Rightarrow \beta = 2$
   $\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(6, 2)$।

   যেহেতু দিকাক্ষ অক্ষের উপর লম্ব এবং অক্ষের সমীকরণ $y - 2 = 0$, তাই দিকাক্ষের সমীকরণ হবে $x = k$ আকারের।
   দিকাক্ষটি $Z(6, 2)$ বিন্দুগামী হওয়ায়:
   $6 = k \Rightarrow k = 6$
   $\therefore$ দিকাক্ষের সমীকরণ: $x - 6 = 0$।

   পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে, পরাবৃত্তের সংজ্ঞামতে:
   $SP = PM$
   $\Rightarrow SP^2 = PM^2$
   $\Rightarrow (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = \left(\frac{|x - 6|}{\sqrt{1^2 + 0^2}}\right)^2$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4y + 4 = (x - 6)^2$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 12x + 36$
   $\Rightarrow y^2 - 4y + 12x + 4 - 36 = 0$
   $\Rightarrow y^2 - 4y + 12x - 32 = 0$ (বা, $(y - 2)^2 = -12(x - 3)$)।

   নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $(y - 2)^2 = -12(x - 3)$ অথবা $y^2 - 4y + 12x - 32 = 0$।