পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যসারির মানসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে এবং তা পরিমাপ করার সংখ্যাত্মক পদ্ধতিকে কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   তথ্যসারির কোনো একটি মান শূন্য (০) অথবা ঋণাত্মক হলে জ্যামিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না। কারণ, কোনো মান শূন্য হলে সকল মানের গুণফল শূন্য হয়ে যায়, ফলে এর n-তম মূলও শূন্য হয়ে অর্থহীন হয়। অন্যদিকে, কোনো মান ঋণাত্মক হলে মানের গুণফল ঋণাত্মক হতে পারে এবং জোড় সংখ্যক মানের ক্ষেত্রে ঋণাত্মক সংখ্যার মূল বাস্তব সংখ্যা হয় না (কাল্পনিক সংখ্যা হয়)। তাই অশূন্য ও ধনাত্মক মান ছাড়া জ্যামিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, শ্রাবণীর প্রাপ্ত নম্বর $a$ এবং মায়ার প্রাপ্ত নম্বর $b$। শর্তানুসারে, $a > b$।

   উদ্দীপক অনুসারে,
   গাণিতিক গড়, $AM = \frac{a+b}{2} = 25$
   বা, $a+b = 50$ ... (১)

   জ্যামিতিক গড়, $GM = \sqrt{ab} = 15$
   বা, $ab = 15^2 = 225$ ... (২)

   আমরা জানি,
   $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$
   বা, $(a-b)^2 = (50)^2 - 4 \times 225 = 2500 - 900 = 1600$
   বা, $a-b = \sqrt{1600} = 40$ [যেহেতু $a > b$] ... (৩)

   এখন, (১) ও (৩) যোগ করে পাই,
   $2a = 90 \Rightarrow a = 45$

   (১) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই,
   $2b = 10 \Rightarrow b = 5$

   অতএব, শ্রাবণীর প্রাপ্ত নম্বর ৪৫ এবং মায়ার প্রাপ্ত নম্বর ৫।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'গ' থেকে পাই, দুজনের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৪৫ ও ৫।

   তরঙ্গ গড় ($HM$) নির্ণয়:
   $HM = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{1}{45} + \frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{1+9}{45}} = \frac{2 \times 45}{10} = 9$

   উদ্দীপক হতে প্রাপ্ত ও নির্ণীত মানসমূহ:
   গাণিতিক গড় ($AM$) = ২৫
   জ্যামিতিক গড় ($GM$) = ১৫
   তরঙ্গ গড় ($HM$) = ৯

   গড়গুলোর মধ্যে বিদ্যমান সম্পর্ক:
   ১. মানগুলোর ক্রম বিবেচনা করলে দেখা যায়, $25 > 15 > 9$, অর্থাৎ $AM > GM > HM$।
   ২. আবার, $AM \times HM = 25 \times 9 = 225$
   এবং $GM^2 = 15^2 = 225$
   সুতরাং, $GM^2 = AM \times HM$ বা $GM = \sqrt{AM \times HM}$।

   অতএব, দেখা যাচ্ছে যে দুটি ভিন্ন ধনাত্মক মানের ক্ষেত্রে সর্বদা $AM > GM > HM$ সম্পর্কটি বজায় থাকে এবং জ্যামিতিক গড় হলো গাণিতিক গড় ও তরঙ্গ গড়ের গুণোত্তর মধ্যক ($GM^2 = AM \times HM$), যা উদ্দীপকের তথ্যের আলোকে প্রতিষ্ঠিত হলো।