উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

f(θ)=sin⁡θ. f(\theta)=\sin \theta .

  1. ক)

    ∫11+tan⁡xdx \int \frac{1}{1+\tan x} d x নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    ∫0π4f(2x)dx{f(π2+x)}4+{f(x)}4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{f(2 x) d x}{\left{f\left(\frac{\pi}{2}+x\right)\right}^{4}+{f(x)}^{4}} এর মান নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    x=5f′(θ) x=5 f^{\prime}(\theta) ও y=5f(θ) y=5 f(\theta) দ্বারা প্রকাশিত বৃত্ত এবং x = 3 রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    I=∫11+tan⁡xdx=∫cos⁡xcos⁡x+sin⁡xdxI = \int \frac{1}{1+\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx
    =12∫(cos⁡x+sin⁡x)+(cos⁡x−sin⁡x)cos⁡x+sin⁡xdx= \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x + \sin x) + (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} dx
    =12∫1dx+12∫cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡xdx= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx
    =12x+12ln⁡∣cos⁡x+sin⁡x∣+c= \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln|\cos x + \sin x| + c, যেখানে cc একটি সমাকলন ধ্রুবক।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(θ)=sin⁡θf(\theta) = \sin \theta
    অতএব, f(2x)=sin⁡2xf(2x) = \sin 2x, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x, এবং f(π2+x)=sin⁡(π2+x)=cos⁡xf\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = \cos x

    প্রদত্ত যোগজ,
    I=∫0π4sin⁡2xcos⁡4x+sin⁡4xdxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2x}{\cos^4 x + \sin^4 x} dx
    লব ও হরকে cos⁡4x\cos^4 x দ্বারা ভাগ করে পাই,
    I=∫0π42sin⁡xcos⁡x/cos⁡4x1+tan⁡4xdx=∫0π42tan⁡xsec⁡2x1+(tan⁡2x)2dxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\sin x \cos x / \cos^4 x}{1 + \tan^4 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\tan x \sec^2 x}{1 + (\tan^2 x)^2} dx

    ধরি, u=tan⁡2xu = \tan^2 x
    ∴du=2tan⁡xsec⁡2xdx\therefore du = 2\tan x \sec^2 x dx
    সীমা পরিবর্তন:
    যখন x=0x = 0, u=tan⁡20=0u = \tan^2 0 = 0
    যখন x=π4x = \frac{\pi}{4}, u=tan⁡2(π4)=1u = \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1

    ∴I=∫01du1+u2=[tan⁡−1u]01=tan⁡−1(1)−tan⁡−1(0)=π4−0=π4\therefore I = \int_{0}^{1} \frac{du}{1 + u^2} = \left[ \tan^{-1} u \right]_{0}^{1} = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(θ)=sin⁡θ⇒f′(θ)=cos⁡θf(\theta) = \sin\theta \Rightarrow f'(\theta) = \cos\theta
    অতএব, x=5cos⁡θx = 5\cos\theta এবং y=5sin⁡θy = 5\sin\theta
    বর্গ করে যোগ করে পাই,
    x2+y2=25(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=25=52x^2 + y^2 = 25(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = 25 = 5^2
    যা একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0)(0,0) এবং ব্যাসার্ধ r=5r = 5।

    বৃত্তটি এবং x=3x = 3 সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
    x=3x = 3 থেকে x=5x = 5 পর্যন্ত প্রথম ও চতুর্থ চতুর্ভাগে ক্ষেত্রটি বিস্তৃত।
    y=25−x2y = \sqrt{25 - x^2}
    নির্ণেয় ক্ষেত্রফল,
    A=2∫3552−x2dxA = 2 \int_{3}^{5} \sqrt{5^2 - x^2} dx
    =2[x225−x2+252sin⁡−1(x5)]35= 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{25 - x^2} + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) \right]_{3}^{5}
    =2[(0+252sin⁡−1(1))−(3225−9+252sin⁡−1(35))]= 2 \left[ \left(0 + \frac{25}{2}\sin^{-1}(1)\right) - \left(\frac{3}{2}\sqrt{25-9} + \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right) \right]
    =2[252⋅π2−6−252sin⁡−1(35)]= 2 \left[ \frac{25}{2}\cdot\frac{\pi}{2} - 6 - \frac{25}{2}\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \right]
    =25π2−12−25sin⁡−1(35)= \frac{25\pi}{2} - 12 - 25\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) বর্গ একক (বা ≈3.03\approx 3.03 বর্গ একক)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন