পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

C⃗\vec{C}ভেক্টরটি A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} ভেক্টরের উপর লম্ব।A⃗=−i^−3j^+2k^ \vec{A}=-\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k} এবং B⃗=2i^−2j^−2k^ \vec{B}=2 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k} .

  1. ক)

    সীমাবদ্ধ ভেক্টর কাকে বলে

    (1)
  2. খ)

    বল ও সরণ ভেক্টর রাশি হলেও কাজ স্কেলার রাশি কেন? ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    ভেক্টর C⃗\vec{C} বরাবর একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

    (3)
  4. ঘ)

    উদ্দীপক অনুযায়ী গাণিতিকভাবে যাচাই কর যে P⃗+Q⃗=R⃗ \vec{P}+\vec{Q}=\vec{R}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    নির্দিষ্ট কোনো বিন্দুকে আদিবিন্দু বা পাদবিন্দু হিসেবে নির্ধারণ করে যে ভেক্টর অঙ্কন করা হয়, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর (Localized vector) বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    কাজ হলো বল এবং বলের দিকে সরণের উপাংশের গুণফল, যা দুটি ভেক্টর রাশির ডট গুণন বা স্কেলার গুণনের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অর্থাৎ, W=F⃗⋅s⃗=Fscos⁡θW = \vec{F} \cdot \vec{s} = Fs\cos\theta।
    দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণনের ফলে প্রাপ্ত রাশির কেবল মান থাকে, কোনো দিক থাকে না এবং এটি সাধারণ বীজগণিতের নিয়ম মেনে চলে। তাই বল এবং সরণ উভয়ই ভেক্টর রাশি হওয়া সত্ত্বেও তাদের ডট গুণফলের ফলে উৎপন্ন রাশি 'কাজ' একটি স্কেলার রাশি।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যেহেতু C⃗\vec{C} ভেক্টরটি A⃗\vec{A} ও B⃗\vec{B} উভয়ের উপর লম্ব, সুতরাং C⃗\vec{C} ভেক্টরটির দিক হবে A⃗×B⃗\vec{A} \times \vec{B} (বা B⃗×A⃗\vec{B} \times \vec{A}) বরাবর।

    দেওয়া আছে,
    A⃗=−i^−3j^+2k^\vec{A} = -\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}
    B⃗=2i^−2j^−2k^\vec{B} = 2\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}

    এখন,
    A⃗×B⃗=∣i^j^k^−1−322−2−2∣\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -3 & 2 \\ 2 & -2 & -2 \end{vmatrix}
    =i^[(−3)(−2)−(2)(−2)]−j^[(−1)(−2)−(2)(2)]+k^[(−1)(−2)−(−3)(2)]= \hat{i}[(-3)(-2) - (2)(-2)] - \hat{j}[(-1)(-2) - (2)(2)] + \hat{k}[(-1)(-2) - (-3)(2)]
    =i^[6+4]−j^[2−4]+k^[2+6]= \hat{i}[6 + 4] - \hat{j}[2 - 4] + \hat{k}[2 + 6]
    =10i^+2j^+8k^= 10\hat{i} + 2\hat{j} + 8\hat{k}

    A⃗×B⃗\vec{A} \times \vec{B}-এর মান,
    ∣A⃗×B⃗∣=102+22+82=100+4+64=168=242|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{10^2 + 2^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 4 + 64} = \sqrt{168} = 2\sqrt{42}

    অতএব, C⃗\vec{C} বরাবর একক ভেক্টর,
    η^=±A⃗×B⃗∣A⃗×B⃗∣=±10i^+2j^+8k^242=±5i^+j^+4k^42\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} = \pm \frac{10\hat{i} + 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2\sqrt{42}} = \pm \frac{5\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{42}}

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের চিত্রে মূলবিন্দু বা সাধারণ বিন্দু OO থেকে বিভিন্ন শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করা হয়েছে:
    OL⃗=A⃗\vec{OL} = \vec{A}
    ON⃗=B⃗\vec{ON} = \vec{B}
    OM⃗=C⃗\vec{OM} = \vec{C}

    চিত্রের ত্রিভুজগুলো থেকে ত্রিভুজ সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

    ১. △ONL\triangle ONL হতে,
    ON⃗+NL⃗=OL⃗\vec{ON} + \vec{NL} = \vec{OL}
    ⇒B⃗+P⃗=A⃗\Rightarrow \vec{B} + \vec{P} = \vec{A}
    ⇒P⃗=A⃗−B⃗\Rightarrow \vec{P} = \vec{A} - \vec{B}

    ২. △OLM\triangle OLM হতে,
    OL⃗+LM⃗=OM⃗\vec{OL} + \vec{LM} = \vec{OM}
    ⇒A⃗+Q⃗=C⃗\Rightarrow \vec{A} + \vec{Q} = \vec{C}
    ⇒Q⃗=C⃗−A⃗\Rightarrow \vec{Q} = \vec{C} - \vec{A}

    ৩. △ONM\triangle ONM হতে,
    ON⃗+NM⃗=OM⃗\vec{ON} + \vec{NM} = \vec{OM}
    ⇒B⃗+R⃗=C⃗\Rightarrow \vec{B} + \vec{R} = \vec{C}
    ⇒R⃗=C⃗−B⃗\Rightarrow \vec{R} = \vec{C} - \vec{B}

    এখন, বামপক্ষ:
    P⃗+Q⃗=(A⃗−B⃗)+(C⃗−A⃗)\vec{P} + \vec{Q} = (\vec{A} - \vec{B}) + (\vec{C} - \vec{A})
    =C⃗−B⃗= \vec{C} - \vec{B}
    =R⃗= \vec{R} (ডানপক্ষ)

    অতএব, উদ্দীপক অনুযায়ী গাণিতিকভাবে যাচাই করা হলো যে, P⃗+Q⃗=R⃗\vec{P} + \vec{Q} = \vec{R}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন