উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, বিন্দু দুটি P(3, -1) এবং Q(2, -2)।
   PQ রেখার ঢাল, m = (-2 - (-1)) / (2 - 3) = (-2 + 1) / (-1) = (-1) / (-1) = 1
   রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করলে,
   tan θ = m = 1
   ⇒ tan θ = tan 45°
   ⇒ θ = 45° বা π/4

   উত্তর: 45°

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   ΔOAB একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যেখানে ∠AOB = 90° এবং OA = OB।
   OC ⊥ AB হওয়ায়, OC রেখাংশ ∠AOB-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
   অতএব, OC রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কোণ উৎপন্ন করে:
   θ = 90° / 2 = 45°

   যেহেতু OC রেখাটি মূলবিন্দু O(0, 0) দিয়ে যায়, সুতরাং এর সমীকরণ:
   y = mx
   ⇒ y = (tan 45°)x
   ⇒ y = 1 · x
   ⇒ x - y = 0

   উত্তর: x - y = 0

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   4x - 3y + 1 = 0 ... (1)
   3x + 4y + 8 = 0 ... (2)

   এখানে, a₁ = 4, b₁ = -3, c₁ = 1
   a₂ = 3, b₂ = 4, c₂ = 8

   a₁a₂ + b₁b₂ = (4)(3) + (-3)(4) = 12 - 12 = 0
   যেহেতু a₁a₂ + b₁b₂ = 0, তাই রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব।
   পরস্পর লম্ব রেখার ক্ষেত্রে উভয় সমদ্বিখণ্ডকই 45° কোণে থাকে, ফলে দুটি কোণই 90° হওয়ায় সাধারণত ঋণাত্মক চিহ্নযুক্ত সমদ্বিখণ্ডকটি বিবেচনা করা হয় অথবা উভয় সমদ্বিখণ্ডকই সমান বিবেচনা করা যায়। তবে সূত্রের প্রথাগত নিয়ম অনুসারে:

   রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:
   (4x - 3y + 1) / √(4² + (-3)²) = ± (3x + 4y + 8) / √(3² + 4²)
   ⇒ (4x - 3y + 1) / 5 = ± (3x + 4y + 8) / 5
   ⇒ 4x - 3y + 1 = ± (3x + 4y + 8)

   যেহেতু রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব, যেকোনো একটি সমদ্বিখণ্ডক বিবেচনা করা যায়।
   ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিয়ে:
   4x - 3y + 1 = -(3x + 4y + 8)
   ⇒ 4x - 3y + 1 = -3x - 4y - 8
   ⇒ 7x + y + 9 = 0
   ⇒ 7x + y = -9
   ⇒ x / (-9/7) + y / (-9) = 1

   অতএব, অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
   Δ = (1/2) × |a| × |b| = (1/2) × |-9/7| × |-9| = (1/2) × (9/7) × 9 = 81/14 বর্গ একক।

   (অথবা ধনাত্মক (+) চিহ্ন নিলে:
   4x - 3y + 1 = 3x + 4y + 8
   ⇒ x - 7y - 7 = 0
   ⇒ x/7 + y/(-1) = 1
   ক্ষেত্রফল = (1/2) × |7| × |-1| = 7/2 = 49/14 বর্গ একক।)

   উত্তর: 81/14 বর্গ একক (বা 7/2 বর্গ একক)