উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $2 + x - 3x^2 = 0$
   আদর্শ আকারে সাজিয়ে পাই: $3x^2 - x - 2 = 0$

   যেহেতু সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$:
   $\alpha + \beta = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$
   $\alpha\beta = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}$

   এখন,
   $\sum \alpha^2 = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
   $= \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{2}{3}\right)$
   $= \frac{1}{9} + \frac{4}{3} = \frac{1 + 12}{9} = \frac{13}{9}$

   $\therefore \sum \alpha^2$ এর মান $\frac{13}{9}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $g(x) = x^2 - 2x - k$
   $\therefore g(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - k = 0$

   যেহেতু এই সমীকরণের মূলদ্বয় $a$ ও $b$, সুতরাং:
   $a + b = 2$
   $ab = -k$

   যে সমীকরণটি নির্ণয় করতে হবে তার মূলদ্বয় হলো $u = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ এবং $v = \frac{1}{ab}$।

   এখন,
   $u = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{2}{-k} = -\frac{2}{k}$
   $v = \frac{1}{ab} = \frac{1}{-k} = -\frac{1}{k}$

   নতুন সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $u + v = -\frac{2}{k} - \frac{1}{k} = -\frac{3}{k}$

   মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $uv = \left(-\frac{2}{k}\right)\left(-\frac{1}{k}\right) = \frac{2}{k^2}$

   $\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণ:
   $x^2 - (u + v)x + uv = 0$
   $\Rightarrow x^2 - \left(-\frac{3}{k}\right)x + \frac{2}{k^2} = 0$
   $\Rightarrow x^2 + \frac{3}{k}x + \frac{2}{k^2} = 0$
   $\Rightarrow k^2x^2 + 3kx + 2 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
   $x^2 - 2x - k = 0$ ... (১)
   $x^2 + kx - 6k = 0$ ... (২)

   ধরি, সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল $\alpha$।
   তাহলে,
   $\alpha^2 - 2\alpha - k = 0$ ... (৩)
   $\alpha^2 + k\alpha - 6k = 0$ ... (৪)

   (৪) নং থেকে (৩) নং বিয়োগ করে পাই:
   $(k + 2)\alpha - 5k = 0$
   $\Rightarrow (k + 2)\alpha = 5k$
   $\Rightarrow \alpha = \frac{5k}{k + 2}$ [যেখানে $k \neq -2$]

   $\alpha$ এর মান সমীকরণ (৩)-এ বসিয়ে পাই:
   $\left(\frac{5k}{k + 2}\right)^2 - 2\left(\frac{5k}{k + 2}\right) - k = 0$
   $\Rightarrow \frac{25k^2}{(k + 2)^2} - \frac{10k}{k + 2} - k = 0$

   উভয়পক্ষকে $(k + 2)^2$ দ্বারা গুণ করে পাই:
   $25k^2 - 10k(k + 2) - k(k + 2)^2 = 0$
   $\Rightarrow k [25k - 10(k + 2) - (k^2 + 4k + 4)] = 0$

   যদি $k = 0$ হয়:
   তাহলে উভয় সমীকরণ হয় $x^2 - 2x = 0$ এবং $x^2 = 0$, যার সাধারণ মূল $x = 0$ বিদ্যমান। সুতরাং $k = 0$ গ্রহণযোগ্য।

   যদি $k \neq 0$ হয়:
   $25k - 10k - 20 - k^2 - 4k - 4 = 0$
   $\Rightarrow -k^2 + 11k - 24 = 0$
   $\Rightarrow k^2 - 11k + 24 = 0$
   $\Rightarrow (k - 3)(k - 8) = 0$
   $\therefore k = 3$ অথবা $k = 8$

   $\therefore k$ এর নির্ণেয় মানসমূহ হলো $0, 3, 8$।